左建平1，2，宋洪强1，陈 岩1，李彦红1
(1.中国矿业大学(北京) 力学与建筑工程学院，北京 100083; 2.中国矿业大学(北京) 煤炭资源与安全开采国家重点实验室，北京 100083)
摘 要:利用煤岩组合体的单轴和三轴压缩试验结果，基于轴向裂纹应变，分析了其峰后渐进破坏特征。在此基础上，通过将峰后阶段的煤岩组合体概念化为裂纹体和基体两部分，建立了考虑自然应变的裂纹体在峰后裂纹贯通阶段的本构模型，然后考虑基体的弹性变形，最终得到煤岩组合体峰后阶段的非线性应力-应变关系。实例验证表明，该模型能较好地反映煤岩组合体峰后应变软化行为和残余强度。对模型的2个参数进行分析，结果表明:轴向裂纹扩展应变极值在单轴压缩时取得最大值，围压存在时远小于最大值;等效非弹性柔度与轴向裂纹扩展应变极值存在负相关关系，与能量跌落系数大致存在线性相关关系，表明等效非弹性柔度可间接评价煤岩组合体峰后破坏的脆性程度;等效非弹性柔度比轴向裂纹扩展应变极值对煤岩组合体峰后破坏行为的影响更明显。
关键词:煤岩组合体;轴向裂纹应变;裂纹体;等效非弹性柔度;峰后本构模型
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左建平，宋洪强，陈岩，等.煤岩组合体峰后渐进破坏特征与非线性模型[J].煤炭学报,2018,43(12):3265-3272.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.0292
ZUO Jianping,SONG Hongqiang,CHEN Yan，et al.Post-peak progressive failure characteristics and nonlinear model of coal-rock combined body[J].Journal of China Coal Society,2018,43(12):3265-3272.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.0292
中图分类号:TU452
文献标志码:A
文章编号:0253-9993(2018)12-3265-08
收稿日期:2018-03-05
修回日期:2018-09-11
责任编辑:常 琛
基金项目:国家自然科学基金优秀青年基金资助项目(51622404);国家自然科学基金资助项目(11572343);国家重点研发计划资助项目(2016YFC0801404)
作者简介:左建平(1978—)，男，江西高安人，教授，博士，博士生导师。E-mail:zjp@cumtb.edu.cn
ZUO Jianping1,2,SONG Hongqiang1,CHEN Yan1，LI Yanhong1
(1.School of Mechanics and Civil Engineering，China University of Mining and Technology (Beijing)，Beijing 100083，China; 2.State Key Laboratory of Coal Resources and Safe Mining，China University of Mining and Technology (Beijing)，Beijing 100083，China)
Abstract:Based on the axial crack strain,the post-peak pro-gressive failure characteristics of coal-rock combined body is analyzed using its uniaxial and tri-axial compression test data.On this basis,by dividing conceptually the coal-rock combined body in the post-peak stage into two parts,i.e.cracked body and basal body,the constitutive model of cracked body considering natural strain at the stage of post-peak crack coalescence is established,and then the elastic deformation of basal body is considered.Finally,the post-peak nonlinear stress-strain relationship of coal-rock combined body is obtained.The results show that the model can well reflect the post-peak strain softening and residual strength of coal-rock combined body.Then,the two parameters of the model are analyzed and it is found that the axial crack propagation strain extremum achieves the maximum value in uniaxial compression and is far less than the maximum under confining pressure.The equivalent inelastic flexibility is negatively correlated with the axial crack propagation strain extremum and approximately linearly correlated with the energy drop coefficient,indicating that the equivalent inelastic flexibility can indirectly evaluate the extent of post-peak brittleness of coal-rock combined body.Furthermore,the influence of parameter equivalent inelastic flexibility on the post-failure behavior of coal-rock combined body is more obvious than that of parameter axial crack propagation strain extremum.
Key words:coal-rock combined body;axial crack strain;cracked body;equivalent inelastic flexibility;post-peak constitutive model
近年来随着浅部资源逐渐枯竭，煤炭的深部开采已成为常态，但也伴随着严重的矿井灾害，说明岩体的本构行为在深部可能发生变化[1]。工程实践表明，煤炭开采过程中，采场上方及前方煤岩体实际处于峰后破裂状态，但仍具有一定的承载能力。因此，研究深部煤岩体峰值后区的本构关系，对认识其峰后破坏规律及指导深部煤炭安全开采具有重要意义。
深部煤矿灾害又多受到煤岩组合体整体结构的影响，再加上深部高应力的环境，很多灾害表现出煤岩整体破坏失稳现象[2]。目前，国内外学者单纯对岩体或煤体峰值后区的本构关系进行了大量研究。E.HOEK等[3]依据岩体质量好坏，首次将峰后破坏行为分为3种模式:理想弹脆性模型、应变软化模型和理想弹塑性模型。岩石作为一种准脆性材料，其峰后破坏多表现为应变软化行为，因此，大多数研究都是基于应变软化模型开展的。Z.FANG等[4]提出了强度退化指标并用于模拟分析岩石试样峰后脆性断裂过程。T.G.JOSEPH等[5]基于视摩擦的概念，将峰后视摩擦角表征为应变的函数进而得到岩石应变软化本构关系。X.G.ZHAO等[6]构建了能同时考虑围压和塑性剪切应变的变剪胀角模型来描述岩石峰后破坏过程中非线性扩容行为。陆银龙等[7]基于Mohr-Coulomb强度准则，建立了广义黏聚力和广义内摩擦角随等效塑性剪切应变、围压的弱化规律，并嵌入FLAC3D软件较准确地描述了软弱岩石峰后力学特性。文献[8-10]分别选取等效塑性应变、最大主应变及塑性剪切应变为应变软化参数，基于强度参数分段线性演化的假设，结合Mohr-Coulomb屈服准则建立了相应的岩石峰后应变软化模型。另外，也有学者从岩石内部微缺陷随机分布的微细观角度出发，基于连续损伤理论和强度统计理论，通过假设岩石微元强度服从某种随机分布建立了损伤软化统计本构模型[11-13]。以上研究为地下开采中单体围岩的稳定性分析、支护设计及施工等提供了重要的指导意义。然而，有关煤岩组合体的峰后力学特性尤其应变软化行为的研究还不够充分。
近年来，有关煤岩组合体的试验研究取得了一定进展。左建平等[2,14-15]通过煤岩单体及组合体的一系列试验研究了煤岩组合体与单体煤、单体岩石力学特性和破坏机制的不同。本文在此基础上，利用煤岩组合体在单轴和三轴压缩下的全应力-应变曲线，基于轴向裂纹应变分析了其峰后渐进破坏过程，然后将处于峰后阶段的煤岩组合体概念化为裂纹体和基体两部分，通过理论分析得到裂纹体的本构关系，最终提出一个描述煤岩组合体峰后应变软化的非线性模型，且通过试验数据加以验证。
本试验所用的煤岩体均采自开滦钱家营矿2071工作面运输巷，埋深850 m[2,15]。煤样和岩样分别取在7号煤层及其顶板。在制作试样的过程中，参照岩石力学测试标准，保证试样两端面的不平行度不大于0.01 mm，上下面的直径偏差不大于0.02 mm。煤样及岩样的尺寸均为φ35 mm×35 mm，组合后的尺寸为φ35 mm×70 mm，即高径比为2。试验加载系统采用四川大学MTS 815试验机，单轴加载试验采用位移控制模式，加载速率为0.001 mm/s。常规三轴加载试验中，轴向采用位移控制模式，试样破坏之前加载速率为0.001 mm/s，破坏之后加载速率为0.1 mm/min;围压加载速率为3 MPa/min。为便于记录，将试样编号为MR-A-B和RM-A-B(MR表示煤上岩下，RM表示岩上煤下，A表示围压，B表示某围压下的第几个试样)。试验得到的部分应力-应变曲线如图1所示。
图1 不同围压下MR组合体典型应力-应变曲线
Fig.1 Typical stress-strain curves of coal-rock combined body under different confining pressures
由图1可看出，随着围压增大，煤岩组合体的峰值强度和残余强度都在逐渐增大。单轴压缩时其峰后破坏脆性程度较强，应力跌落比较明显。另外，围压存在时其峰后脆性跌落程度依然较强，表现出与单体岩样、单体煤样不同的峰后破坏特征。图2为部分试样的破坏形态图。可以看出，单轴压缩时试样破坏较为严重，煤样部分产生多条劈裂裂缝，且出现煤块剥落现象。随着围压增大，试样破坏程度减弱，最终以煤样部分的单一剪切面贯通而破坏。同时，对于本试验所用煤岩组合体试样，破坏主要发生在煤样部分，个别试样煤样中的裂缝会贯入岩样部分。
图2 不同围压下部分煤岩组合体试样变形破坏
Fig.2 Failure images of some coal-rock combined bodies under different confining pressures
天然状态下岩石内部含有大量的微裂纹(或孔隙、孔洞)，众多岩石力学试验表明，在载荷作用下，岩石发生变形破坏正是这些微裂纹不断萌生、扩展和贯通的结果[16-18]。岩石内部裂纹的演化可以通过裂纹应变来描述。裂纹应变是指在外荷载作用下，由于岩石内部裂纹的闭合、起裂、扩展和贯通而使岩石产生的变形，也就是总测量应变减去岩石弹性应变后剩余部分。大多数文献[16-18]基于体积裂纹应变来分析岩石的渐进破坏过程，而文献[19]利用轴向裂纹应变分析了煤岩组合体峰前裂纹演化特征，并建立了峰前轴向裂纹应变模型，取得了不错的效果。本文在此基础上，进一步分析煤岩组合体峰后裂纹演化特征，并试图建立峰后轴向裂纹应变模型。
轴向裂纹应变的计算公式为
(1)
式中，ε1为轴向应变;
为轴向弹性应变。
图3 峰后阶段轴向应变定量分析示意
Fig.3 Quantitative analysis diagram of axial strain in post-peak stage
常规三轴压缩下岩石的应力-应变曲线如图3所示。为方便计算峰后各应力水平处的弹性应变，卸载曲线的斜率取为峰值应力处的割线模量E。以峰后阶段的A点为例加以说明，线段AC为卸载曲线，其斜率为E，则线段BC表示A点处的弹性应变，线段OC表示相应的裂纹应变。因此，常规三轴压缩下，式(1)可表示为
(2)
式中，σ1,σ3分别为最大、最小主应力；E为峰值应力处的割线模量。
图4为MR组合体在单、三轴压缩下典型的峰后渐进破坏过程，其中轴向裂纹应变由式(2)计算得到。
图4 轴向应力与轴向应变、轴向裂纹应变关系曲线
Fig.4 Relationships of axial stress versus axial strain and axial crack strain
由图4可看出，轴向应变和轴向裂纹应变随轴向应力的变化趋势大体是一致的，两者的差值即为弹性应变部分
图4(a)中，达到峰值强度σp时，轴向应变和轴向裂纹应变分别为
之后轴向应力开始降低，然而轴向裂纹应变却持续增加，且增长速率随应力的减小越来越大。这主要是由于在此阶段煤岩组合体中裂纹的数量、长度都显著增加，裂纹开始发生聚合、贯通，逐渐形成裂隙带，使得煤岩组合体的弹性变形减小，非弹性变形明显增加，称为软化阶段。峰值强度之后，弹性应变逐渐减小，当弹性应变减小到一定程度而趋于稳定时，轴向应变ε1主要受轴向裂纹应变
的影响，表明此时煤岩组合体中大量裂纹已贯通，形成了宏观裂隙带，开始进入残余阶段，所对应的轴向应力和轴向应变分别为残余强度σr、残余应变
此后，轴向应力趋于稳定，轴向应变和轴向裂纹应变近似垂直增长。
可以看出，图4(b)与图4(a)有明显的不同。首先，图4(b)的弹性变形部分要远大于图4(a)的，主要是由于单轴压缩比围压存在时的峰后卸载弹性模量要小。其次，图4(b)中轴向裂纹应变的增长速率随应力的减小较为缓慢，且峰后应力不连续，应力跌落现象较为明显，表现出较强的脆性特征。最后，在软化阶段末期，图4(b)中弹性应变仍不能趋于稳定，轴向裂纹应变的增长速率仍未达到极限程度，说明单轴压缩时煤岩组合体的破坏更为彻底、剧烈，不存在明显的残余阶段，故此时可将试验终止点的应力作为其残余强度。由图2也可明显看出单轴压缩与围压存在时试样变形破坏的不同。
第2节分析了煤岩组合体轴向裂纹应变随轴向应力变化的特征，可见轴向裂纹应变与轴向应力之间关系显著，其变化规律基本符合指数模型。通过先建立两者之间的关系，再联立式(2)即可得到煤岩组合体轴向应变与轴向应力的关系。
为了建立多孔、裂隙岩石的应力-弹性应变关系模型，H.H.LIU等[20]将这种非均质的岩石概念化为软、硬两部分，其中软部分包括孔隙、裂隙，其余为硬部分，并假设软部分遵循基于自然应变的Hooke定律，硬部分遵循基于工程应变的Hooke定律。笔者借鉴这种思想，引用断裂力学中有序多裂纹体的概念，不考虑煤岩组合体中界面等其他结构面的影响，将峰后阶段的煤岩组合体概念化为裂纹体和基体两部分，其中裂纹体包含煤和岩石中所有的裂纹，其余为基体，图5为其示意图。裂纹体部分由于内部含有大量裂纹，在峰后荷载作用下会发生较大的非弹性变形，并假设大量裂纹的等效变形代表裂纹体的变形。基体部分由基质颗粒构成，假设其峰后阶段的变形仍为弹性变形。煤岩组合体作为一种特殊的试样，其基质由煤和岩石两种不同材料组成，对于概念化的分析模型中的基体可视为两种基质材料的等效介质。
图5 三轴压缩下煤岩组合体峰后阶段变形分析模型
Fig.5 Model of post-peak deformation analysis for coal-rock combined body under tri-axial compression
假设在峰前裂纹扩展阶段，裂纹是孤立存在的并且只发生初次扩展，忽略裂纹之间的相互作用。当轴向应力达到峰值强度后，裂纹开始趋于聚合、贯通，其本质为裂纹的二次扩展，如图5中裂纹尖端红色虚线所示。由于裂纹体发生的变形较大，故其应变需用自然应变来表示，则根据自然应变的定义，裂纹体在峰后裂纹贯通阶段的平均轴向应变增量可表示为
(3)
式中，
分别为峰值点处和裂纹贯通阶段的轴向裂纹应变;lcc为裂纹峰后贯通阶段的轴向等效高度。
假设轴向应力均匀分布在裂纹体和基体上，参考冯西桥[21]对脆性材料在压缩情况下的细观损伤机制的分析，裂纹体的本构关系可以表示为
(4)
式中，Scc为裂纹体的等效非弹性柔度;
为峰值处的最大主应力。
将式(3)代入式(4)并积分可得
(5)
式中，c为积分常数。
设轴向应力刚达到峰值强度σp时，裂纹扩展的轴向等效高度为Lcc，则
c=ln Lcc
(6)
将式(6)代入式(5)并变形可得
(7)
然后式(7)变形得到
(8)
设煤岩组合体试样的初始高度为L，则
(9)
其中，Δcc为裂纹峰后贯通阶段的轴向等效位移。根据式(9)可以得到峰后裂纹贯通阶段裂纹体的应力-应变关系:
(10)
令
(11)
式中，
为裂纹峰前扩展阶段结束时的极值应变。
联立式(10),(11)可得
(12)
则式(12)即为裂纹体在裂纹峰后贯通阶段的本构模型。
联立式(2),(12)即可得到煤岩组合体峰后阶段的应力-应变关系:
(13)
文献[2,14-15]基于煤岩组合体的单轴和三轴压缩试验研究了煤岩组合体的破坏机制及其力学特性，测得的物理力学参数均为组合体的等效值，选取部分试验结果对本文模型的可行性加以验证，得到的峰后应力-应变关系理论曲线如图6所示。为便于比较，将试验数据也绘于图6中。相应的拟合参数见表1,2。
图6 不同围压下煤岩组合体峰后应力-应变理论值与试验值对比
Fig.6 Comparison between theoretical value and test data of post-peak stress-strain of coal-rock combined body under different confining pressures
表1 MR组合体的拟合参数
Table 1 Fitting parameters of MR combined bodies
表2 RM组合体的拟合参数
Table 2 Fitting parameters of RM combined bodies
由图6可看出，利用本文模型拟合的峰后应力-应变关系曲线与试验曲线的趋势大体相同，能较好地反映煤岩组合体峰后阶段的软化过程和残余强度。然而该模型的不足在于对峰后延性较强试样的拟合效果较好，但对峰后脆性跌落明显的试样拟合效果较差。故本文的模型更适用于三轴压缩的情况。
由式(13)可知，本文模型含有2个未知参数和Scc，为分析两者之间的关系，利用表1，2的拟合结果作图，如图7所示。可看出，随着增大，Scc在逐渐减小，即裂纹峰前扩展阶段结束时的极值应变越大，峰后裂纹体的等效非弹性柔度越小。分析其原因，主要是由于越大，表明裂纹在峰前扩展阶段的扩展长度越长，从而峰后裂纹体的体积越大，故其抵抗变形的能力越强，即Scc越小。由表1，2可知，对于两种煤岩组合体，参数均在单轴压缩时取得最大值，这与单轴压缩时岩石主要发生轴向劈裂破坏是一致的。围压存在时要远小于单轴压缩时的，表明围压对裂纹的扩展具有较强的抑制作用，但由于煤样的非均质性较强，并未呈现随围压增大而严格递减的趋势。
利用笔者提出的能量跌落系数H[22]对图6中煤岩组合体试样峰后破坏脆性程度进行分析，其计算结果列于表3中。令Er=(1-D)EP，其中EP,Er分别为峰值强度、残余强度处卸载所对应的弹性模量;D为应力跌落过程中的损伤变量。本计算中EP取割线模量，D=0.2。由于本试验中环向应变仪安装在煤体上，所测的环向应变为煤体的，无法得到煤岩组合体的泊松比。根据能量跌落系数随泊松比改变而变化不明显，且泊松比不影响其随围压变化趋势的结论[22]，本文假设泊松比为0.3。
图7 模型参数和Scc的关系
Fig.7 Relationship between and Scc
表3 能量跌落系数的计算
Table 3 Calculation of energy-drop coefficient
由表3可知，对于2种煤岩组合体，能量跌落系数均在单轴压缩时取得最小值，表明单轴压缩下煤岩组合体试样峰后破坏脆性最强，应力跌落比较明显。围压存在时，H明显增大，表明围压可使试样峰后破坏脆性减弱，延性增强。同样由于煤样较强的非均质性，H并非随围压增加而单调增大。
为研究参数等效非弹性柔度Scc与煤岩组合体峰后破坏脆性强弱的关系，将表1,2中Scc和表3中H的结果绘于图8。由前文分析可知，由于煤样较强的非均质性使得两者关系存在一定离散性。但由图8可看出，对于两条虚线之间的数据，随着等效非弹性柔度增大，能量跌落系数总体也呈增大趋势，两者大致存在线性相关关系。这是由于裂纹体的等效非弹性柔度越大，其峰后破坏时允许发生较大的变形，从而所耗散的能量越多，故其峰后破坏时应力跌落越不明显即脆性越弱。上述分析表明参数等效非弹性柔度一定程度上可用于评价煤岩组合体峰后破坏的脆性强弱程度。
图8 等效非弹性柔度Scc与能量跌落系数H关系
Fig.8 Relationship between Sccand H
图9 模型参数和Scc的敏感性分析
Fig.9 Sensitivity analysis on the parameters and Scc
为更好地应用本文模型，下面针对模型的2个参数
对煤岩组合体峰后破坏行为的影响进行研究。以MR-5-2试样峰后数据为例，通过分别改变参数得到图9，其中考虑到应力-应变曲线的完整性，补充峰前段为线弹性。由图9(a)可看出，当Scc不变时，随着增大，试样峰后曲线由陡变缓，即峰后破坏的脆性逐渐减弱。这是因为峰前裂纹扩展应变的极值越大，表明材料的损伤程度越严重，耗散的能量越多，从而可释放的应变能越少，故峰后破坏越平稳。同时，随着以相同的增量增大，峰后曲线的间距由疏变密，说明对于某一
影响峰后脆性程度存在某一临界值，超过该临界值后，对峰后脆性程度影响甚微。由图9(b)可见，当固定时，随着Scc增大，试样峰后曲线也呈现由陡变缓的趋势，即峰后破坏由脆性向延性转变。其原因已在前文分析Scc与H的关系时进行阐述，此处不再赘述。同时，这也进一步验证了前文对两者关系分析的正确性。另外，随着Scc以相同的增量增大，峰后同一应力水平处曲线间隔由小变大，表现出与图9(a)相反的性质，说明对于某一
不断增大Scc将会加剧峰后破坏由脆性向延性的转变，存在某一Scc使得峰后破坏达到理想塑性状态。上述分析可知，参数Scc比对煤岩组合体峰后破坏行为的影响更明显。
(1)由试验结果和轴向裂纹应变分析，揭示了煤岩组合体峰后渐进破坏机理，即峰后轴向裂纹应变的增长速率逐渐加快，说明煤岩组合体中裂纹的长度、数量显著增加，使得弹性变形逐渐减小，此时试样处于软化阶段;当弹性应变趋于稳定时，轴向裂纹应变的增长速率达到极限，表明宏观裂隙带已形成，试样进入残余阶段。单轴压缩时的破坏机理略有不同，由于弹性应变最终不能趋于稳定，使得试样破坏更为彻底，不存在明显的残余阶段。
(2)基于煤岩组合体峰后渐进破坏机理，建立了其考虑轴向裂纹应变的峰后非线性模型。该模型将煤岩组合体概念化为裂纹体和基体两部分，首先基于自然应变建立裂纹体在峰后裂纹贯通阶段的本构关系，然后考虑基体的弹性变形，最终得到煤岩组合体峰后阶段应力-应变关系。
(3)模型参数轴向裂纹扩展应变极值在单轴压缩时取得最大值，围压存在时远小于最大值。参数等效非弹性柔度Scc与轴向裂纹扩展应变极值存在负相关关系，与能量跌落系数H大致存在线性相关关系，表明参数Scc可间接评价煤岩组合体峰后破坏的脆性程度。
(4)通过参数敏感性分析发现，分别增大
峰后曲线均会由陡变缓，即试样峰后破坏由脆性向延性转变，且参数Scc比对煤岩组合体峰后破坏行为的影响更明显。
(5)该模型对MR和RM两种组合体均具有较好的拟合效果，一定程度上可预测深部不同埋深处煤岩组合体试样峰后破坏的脆性强弱，为防治深部矿井灾害提供理论依据。
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