陈冬冬1，谢生荣1，何富连1，曾俊超1，谢福星2，程 琼1
(1.中国矿业大学(北京) 资源与安全工程学院，北京 100083; 2.煤炭科学研究总院 建井研究分院，北京 100013)
摘 要:建立长边两侧采空(煤柱)与短边两侧弹性基础边界基本顶板结构力学模型，根据薄板主弯矩破断准则并结合偏微分方程有限差分算法计算研究了基本顶破断的影响因素及权重关系。得到:① c1与c2煤柱的支撑系数kc1,kc2及宽度Lc1,Lc2不仅显著影响基本顶在两侧煤柱区的主弯矩大小及位置且显著影响短边区及中部区主弯矩大小及位置;② 基本顶的弹性模量E与厚度h越大，短边实体区及两侧煤柱区的基本顶断裂线深入煤体距离越大;Lc1,Lc2越大，kc1,kc2越小，煤柱区断裂线深入煤柱距离越大;③ Lc1,kc1,Lc2及kc2较小而E,h较大时，基本顶在c1与c2煤柱区均不断裂，最终断裂形态为非对称“||-X”型;④ Lc2及kc2较大而h,E,Lc1及kc1较小时，基本顶在c1煤柱区(较弱煤柱)不断裂而在c2煤柱区(较强煤柱)会断裂，最终断裂形态为非对称“C-X”型;⑤两侧煤柱支撑系数及宽度均较大而E,h较小时，断裂形态为非对称横“O-X”型;⑥ k，kc1，kc2,E及h均改变而比值k/(Eh3)不变时(其中，比值k/kc1与比值k/kc2也不变)，主弯矩大小不变且初次破断位置不变。
关键词:两侧采空;长边煤柱;基本顶;薄板;弹性基础
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陈冬冬，谢生荣，何富连,等.长边两侧采空(煤柱)弹性基础边界基本顶薄板初次破断[J].煤炭学报,2018,43(12):3273-3285.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.0902
CHEN Dongdong，XIE Shengrong，HE Fulian,et al.First fracturing of thin plate of main roof with elastic foundation boundary on both sides of the long side of goaf (coal pillars)[J].Journal of China Coal Society,2018,43(12):3273-3285.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.0902
中图分类号:TD325
文献标志码:A
文章编号:0253-9993(2018)12-3273-13
收稿日期:2018-07-08
修回日期:2018-11-10
责任编辑:常 琛
基金项目:国家自然科学基金资助项目(51574243，51234005，51504259)
作者简介:陈冬冬(1988—)，男，安徽宿州人，博士，博士后。E-mail:chendongbcg@163.com
通讯作者:谢生荣(1981—)，男，江苏六合人，副教授，博士。E-mail:xsrxcq@163.com
CHEN Dongdong1，XIE Shengrong1，HE Fulian1，ZENG Junchao1，XIE Fuxing2，CHENG Qiong1
(1.School of Resource and Safety Engineering,China University of Mining and Technology(Beijing),Beijing 100083,China; 2.Mine Construction Branch of Research Institute,China Coal Research Institute,Beijing 100013,China)
Abstract:The mechanical model of plate structure of main roof with elastic foundation boundary on the two sides of the long side of goaf (coal pillars) and the short side is established in this study.According to the fracture criterion of primary moment of thin plate and combined with finite difference algorithm for partial differential equation,the influence factors and weight relationships of the fracture of main roof are studied and calculated.It is found that ① the support coefficients kc1,kc2 and the widths Lc1,Lc2 of coal pillars (c1,c2) can not only obviously affect the values and positions of primary moments on both sides of coal pillar areas,but also obviously affect the values and positions of primary moments of short side region and central region;② the larger the values of elastic modulus E and thickness h of main roof are,the larger the distance from the fracture line of the short-side solid coal area under main roof as well as the coal pillar areas to the surface of solid coal will be;when Lc1,Lc2 are larger and kc1,kc2 are smaller,the fracture line of coal pillars and the short-side solid coal area is farther away from the surface of coal pillar and closer to the center of coal pillar;③ when the thickness h and elastic modulus E of main roof are larger and the values of Lc1,kc1,Lc2 and kc2 are smaller,the main roof in zone c1 and zone c2 of coal pillar area will not fracture and the fracture form is the type of asymmetric “||-X”;④ when the values of h,E,Lc1 and kc1 are smaller and the values of Lc2 and kc2 are larger,the main roof in zone c1 of coal pillar (weaker) area will not fracture,but the main roof in zone c2 of coal pillar (stronger) area will fracture,so the final fracture form is the type of asymmetric “C-X”;⑤ when the support coefficients and the width of coal pillars on both sides of goaf are larger as well as the values of E and h are smaller,the fracture form is the type of asymmetric transverse “O-X”;and ⑥ when k,E,h,kc1 and kc2 change,and the ratio k/(Eh3) is unchangeable (the ratio k/kc1and the ratio k/kc2 are also unchangeable),the values and positions of primary moments and the position of first fracture are invariant.
Key words: goaf on both sides;long side of coal pillars;main roof;thin plate;elastic foundation
研究首采工作面、一侧采空及两侧采空时基本顶板结构的破断规律(包括断裂位置、形态、顺序等)是指导各类边界条件下采场矿压及岩层控制的关键[1-5]。分析基本顶破断的全区域特征必须依托板结构模型(岩梁模型只能分析长壁工作面中部区力学特征);而分析板结构模型破断规律是否符合采场工程实际，这完全依赖于所建立模型的边界条件是否符合工程实际。根据煤层抗剪切能力较弱等特点，钱鸣高等[1,4,6-9]提出煤体可近似符合文克尔(Winkler)弹性地基假定，它不仅反映了实体煤区的主要可变形特征及对基本顶的主要支承作用关系，而且为理论分析创造了很好的力学条件，同时满足可算性。当前一些学者[4,6-7]采用该假定研究基本顶板结构模型的破断规律，且得到了对实践有重要指导意义的结论。
对于首采工作面[4]及一侧采空工作面[6-7]，当前均研究了实体煤侧为文克尔弹性基础边界，煤柱侧不是简化为简支边而是考虑煤柱宽度与实际承载力及其弱化特性的相关问题，并得到了与传统固支及简支板模型[1,8-11]明显不同的结论，这对理论和实践均有重要价值。
而当前对于长边两侧采空基本顶板模型依旧是两侧煤柱简化为简支边，实体煤区简化为固支边[1,8-9,12-16]。由于煤层刚度低于甚至远低于(煤层软、厚度大时)基本顶刚度，两侧煤柱宽度及承载力不同时对基本顶板结构破断规律的影响必定不同。若两侧煤柱都简化为没有宽度和压缩特性的简支边，那么两侧长边煤柱对基本顶破断规律的非对称影响无法研究，所得到的结论也无法有效指导实践。
由上述分析可见，为了弥补传统长边两侧采空(煤柱)基本顶板结构模型的不足，本文主要从以下方面进行研究:① 长边两侧煤柱宽度及承载能力和弱化特性不同时对基本顶板结构在煤柱侧破断的直接影响及实体煤侧和开采悬顶区基本顶破断规律的间接影响;② 考虑实体煤的弹性基础系数对基本顶破断规律的整体影响;③ 研究基本顶厚度、弹模等因素对长边两侧采空时基本顶破断规律的整体影响;④ 研究煤层的弹性基础系数、两侧煤柱的各自支撑系数、基本顶的厚度、弹模等因素对长边两侧采空时基本顶破断影响的权重关系。这些对采场理论研究及工程问题解决均有重要参考价值和指导意义。
传统模型把基本顶在开采区域短边侧的边界简化为固支边，如图1所示的AD边与BC边。
图1 长边两采空侧简支+短边实体煤侧固支板(传统)模型
Fig.1 Plate structure model of simple support on both sides of the long side of goaf and fixed supported in short-side solid coal area (traditional)
短边实体煤侧符合固支边界条件的前提是基本顶上下覆岩层刚度为无穷大(或很大)，但是众所周知，煤层刚度均低于甚至远低于基本顶刚度，显然此时短边实体煤侧的固支边界假设不成立，基于实体煤的可变形且抗剪切能力弱的特点，可设实体煤区为文克尔[1,4,6-9]弹性基础区，并设弹性基础系数为k，这样k值也表征了实体煤区上下覆岩层刚度的大小以及对基本顶的固支程度，且k值远小于固支边界时的无穷大。
传统模型把长边两侧采空煤柱均简化为简支边，如图1中的AB边与CD边及图2所示。由于煤柱侧的宽度、可压缩变形特征均不考虑，所以在研究基本顶的破断规律即矿压特征方面有较大缺陷，所得结论必然与实际有较大差距，对实践的指导意义也有限。所以本文研究的基本顶破断规律不仅考虑长边两侧煤柱的宽度且考虑其可变形特性以及两侧煤柱参数不相等时的非对称性。
图2 煤柱边界条件假设类型
Fig.2 Assumption type of coal pillar boundary condition
为了弥补传统长边两侧采空(图1)基本顶板结构模型缺陷，从以下方面改进模型:① 对于长边两侧煤柱的力学假设方面，要充分考虑两长边煤柱的宽度及承载力弱化程度不同时基本顶破断的非对称性;② 在考虑两侧煤柱力学假设改进的基础之上，再考虑实体煤区支承基本顶煤体的可变形特性。
图3 长边两侧采空(煤柱)薄板模型
Fig.3 Thin plate model on both sides of the long side of goaf (coal pillars)
据此建立如图3所示的长边两侧采空(煤柱)短边两侧弹性基础边界基本顶薄板力学模型。其中x轴方向为工作面的推进方向，矩形ABCD为开采悬顶区称为S0区，并设AB=CD=2a，AD=BC=2b;矩形悬顶区ABCD的上侧矩形区A1A2B1B2为c1煤柱区设为Sc1区;ABCD区的下侧矩形区C1C2D1D2为c2煤柱区称为Sc2区;矩形ABCD的短边区为实体煤区称为Sd区，该区域基本顶受到上覆岩层与下伏煤层夹支，而下伏煤层由于其刚度较小是约束短边区基本顶向下移动的关键因素，且煤层可近似满足弹性基础假设[1]，并设Sd区的煤层弹性基础系数为k。
Sc1区煤柱支撑系数与宽度分别设为kc1与Lc1，Sc2区煤柱支撑系数与宽度分别设为kc2与Lc2，当然长边两侧的煤柱支撑系数与实体煤弹性基础系数k相比均有一定程度弱化，设弱化系数分别为ξ1与ξ2，且分别满足kc1=ξ1k(其中，0<ξ1<1)，kc2=ξ2k(其中，0<ξ2<1)，如式(1)所示:
(1)
设长边煤柱Sc1区基本顶挠度函数为ωc1(x,y)，那么Sc1区基本顶挠度函数满足的偏微分方程式为
(2)
式中，μ为泊松比;E为弹性模量，GPa;h为基本顶厚度，m。
设长边煤柱Sc2区基本顶挠度函数为ωc2(x,y)，那么Sc2区基本顶挠度函数满足的偏微分方程式为
(3)
设短边实体煤Sd区基本顶挠度函数为ωd(x,y)，Sd区基本顶挠度函数满足的偏微分方程式为
(4)
设开采悬顶S0区基本顶挠度函数为ω0(x,y)，那么S0区基本顶挠度函数满足的偏微分方程式为
(5)
2.2.1 长边两侧煤柱区外边界条件
(6)
如式(6)中，图3中的煤柱Sc1区与煤柱Sc2区的外边界即A1B1边与D1C1边近似满足简支边界条件，可见，此处并不是图1中把整个煤柱区Sc1与Sc2简化为简支边，而只是把煤柱区的外边界简化为简支边，两侧煤柱的宽度和支撑能力依然考虑。
2.2.2 短边实体煤区外边界条件
如图3所示，一般条件下，实体煤区Sd的范围一般远大于开采悬顶区的长边长度，所以在远离开采悬顶区S0的位置处(即图3中边A1D1与边C1B1所在位置)几乎不受采动影响，而一般来说该位置为3～5倍开采区长边长度时(式(7))即满足几乎不受采动影响，即边A1D1与边C1B1满足挠度为零且两边所在截面的法线转角为0°。
(7)
2.2.3 模型分界面处的连续条件
A2A边与B2B边为短边实体煤区与煤柱Sc1区的分界边，该边上各点挠度满足偏微分方程式(2)也满足偏微分方程式(4);D2D边与C2C边是煤柱Sc2区与实体煤Sd区的分界边，满足偏微分方程(3)，也满足偏微分方程(4);AB边是煤柱Sc1与悬顶区S0的分界边，边上各点满足偏微分方程(2)与偏微分方程(5);CD边是煤柱Sc2区与悬顶区S0的分界边，满足偏微分方程(3)与(5)。各分界边处均需要满足连续条件，即基本顶在各分界边所在截面满足挠度与截面转角连续，同时满足截面弯矩与截面剪力连续，具体方程如式(8)所示:
C2C边
BC边
AB边
CD边
BB2边
(8)
长边两侧采空(煤柱)基本顶板结构的变形特征可通过上述煤柱区Sc1、煤柱区Sc2、短边实体煤区Sd及开采悬顶区S0区的挠度偏微分方程(2)～(5)与边界条件方程(6),(7)和连续条件(8)来表述，当然需要求出这个超静定结构各个区域的挠度函数方可解释，但是复杂边界条件下的偏微分方程组求解非常困难，这也是一直以来考虑长边两侧煤柱宽度及支撑能力和短边实体煤区可变形特性的基本顶板结构模型没有得到深入研究的重要原因。又由于采矿工程环境异常复杂，精确解并不是采矿工程领域所追求的，所以可采用有限差分计算方法[17-18]进行研究分析。
为了便于上述偏微分方程通过差分法转化后的表达和识别，对差分节点进行编号，如图4所示，其中，中心结点Q0为其中的特征结点，编号为(ε，δ)，这些相邻结点横纵之间的间距均设为d，上述4个区域的基本顶挠度偏微分方程(2)～(5)，基于图4中13个结点的差分方程如下。
基于图4结点布置的煤柱Sc1区基本顶挠度函数的差分方程为
2(ωε+1，δ+1+ωε+1，δ-1+ωε-1，δ+1+ωε-1，δ-1)+
20ωε，δ-8(ωε+1，δ+ωε-1，δ+ωε，δ+1+ωε，δ-1)×
(9)
图4 差分结点编号
Fig.4 Difference node number
基于图4结点布置的煤柱Sc2区基本顶挠度函数的差分方程为
2(ωε+1，δ+1+ωε+1，δ-1+ωε-1，δ+1+ωε-1，δ-1)×
ωε+2，δ+ωε-2，δ+ωε，δ+2+ωε，δ-2+20ωε，δ=0
(10)
基于图4结点布置的短边实体煤Sd区基本顶挠度函数的差分方程为
2(ωε+1，δ+1+ωε+1，δ-1+ωε-1，δ+1+ωε-1，δ-1)+
20ωε,δ-8(ωε+1，δ+ωε-1，δ+ωε，δ+1+ωε，δ-1)×
(11)
基于图4结点布置的S0开采悬顶区的基本顶挠度函数的差分方程为
2(ωε+1，δ+1+ωε+1，δ-1+ωε-1，α+1+ωε-1，δ-1)-
8(ωε+1，δ+ωε-1，δ+ωε，δ+1+ωε，δ-1)+20ωε,δ-
(12)
(1)长边煤柱的外边界方程的差分方程。式(6)中A1B1与C1D1为煤柱Sc1及Sc2的外边界简支边，该简支边上的各结点挠度为零而该边两侧差分结点的挠度互为相反数，如式(13)所示:
(13)
(2)短边两侧实体煤区的外边界条件方程差分化。式(7)中边A1D1与B1C1为实体煤侧远离开采区而不受采动影响的固支边，该边各结点的挠度为零而该边两侧差分结点的挠度相等，如式(14)所示：
(14)
由上文可知，通过差分法把基本顶在两侧煤柱Sc1区及Sc2区、短边两侧实体煤区Sd与开采悬顶区S0的挠度偏微分方程配合边界条件，转化为与4个区域对应的差分方程(9)～(12)及边界条件(13)与(14)。各区域的挠度偏微分方程转化为4类相互关联的13结点挠度差分方程，各个结点的挠度均为未知数，那么对基本顶各个微元体处的结点均建立相互关联的13结点差分方程并组建方程组，通过求解结点挠度差分方程组，即可得到各个微元体的挠度解即结点挠度解，再把所求的各个结点挠度解代入式(15)，显然可以得到各个结点的弯矩分量(Mx)ε,δ,(My)ε,δ与(Mxy)ε,δ。
(15)
求得各个结点的弯矩分量之后，把弯矩分量代入式(16)，即可得到各个结点的最大与最小主弯矩(M1)ε,δ，(M3)ε,δ。
(16)
根据板结构力学特性[1,17]，采用主弯矩分析基本顶的应力特征并采用弯矩极限与各个区域的主弯矩对比，从而可判断基本顶是否发生断裂及断裂位置。
现给出算例，根据上述计算方法求解出长边两侧采空(煤柱)弹性基础边界基本顶板结构各个区域的最大与最小主弯矩值，并通过Matlab[19]软件把各个区域的主弯矩值绘制成图，这样可以形象直观地分析主弯矩的全区域形态特征。计算参数如下:图3中AB与AD长度分别为120 m与40 m，基本顶弹性模量与厚度分别为30 GPa,6 m，实体煤区系数k为2.3 GN/m3。煤柱的参数分为两组:① c1煤柱与c2煤柱的宽度分别为Lc1=3 m，Lc2=6 m，c1煤柱与c2煤柱的支撑系数分别为kc1=460 MN/m3，kc2=460 MN/m3;② c1煤柱与c2煤柱的宽度分别为Lc1=7 m，Lc2=10 m，c1煤柱与c2煤柱的支撑系数分别为kc1=460 MN/m3，kc2=460 MN/m3，计算结果如图5，6所示。
根据图5,6分析长边两侧采空(煤柱)基本顶全区域最大与最小主弯矩云图可得如下结论。基本顶在短边两侧实体煤Sd区与长边的c1煤柱Sc1区与c2煤柱Sc2区的最小主弯矩M3数值均为负，这些区域主弯矩M3极值的绝对值即为各区域的最大主弯矩，且这些区域的M3极值位置均不沿着煤壁，而是在实体煤或煤柱里侧即深入煤体位置。并设深入长边c1煤柱区的绝对值最大主弯矩为Mm1，Mm1深入煤柱距离为Lm1且满足Mm1=-M3|(0,-Lm1-b)。图5中c1煤柱宽度较小，不存在主弯矩Mm1或说该区不存在负值M3，表明该侧煤柱区基本顶不破断;设深入c2煤柱区的绝对值最大主弯矩设为Mm2，Mm2深入煤柱距离为Lm2，且满足Mm2=-M3|(0,Lm2+b);设Md为短边实体煤区的绝对值最大主弯矩，Md深入煤体距离为Ld且满足Md=-M3|(-a-Ld,y)，或者满足Md=-M3|(a+Ld,y)，当两侧煤柱宽度不相等时Md偏离x轴一定距离(而不是处在x轴线上);开采悬顶区S0的主弯矩数值均为正，并设Mop为该区最大主弯矩，Mop与对应点主弯矩M1相等。由于两侧煤柱不相等，Mop偏向承载力较弱的c1煤柱侧(而不是处在坐标轴交点位置)。
根据板结构特征可知[17]，Sc1，Sc2及Sd区主弯矩极值M3为负值，表示基本顶在这些区域的上表面与下表面分别受拉应力与压应力。又根据“岩石抗压不抗拉”性质[1]可知，这3类区域的基本顶上表面先破断，即基本顶在短边两侧实体煤Sd区深入煤体Ld位置的上表面先破断、深入c1煤柱区的Lm1位置及深入c2煤柱区的Lm2位置上表面先于下表面破断;而开采悬顶区S0的最大主弯矩为正值，即该区下表面拉应力最大，则下表面先于上表面破断。
基于图5与6所示的长边两侧采空(煤柱)基本顶板结构主弯矩全区域特性的分析，得到了两侧煤柱区、两侧短边实体煤区及开采悬顶区主弯矩极值所在位置图。通过研究主弯矩Md,Mop,Mm1与Mm2的数值大小关系，可得两侧采空(煤柱)基本顶板结构的破断顺序;研究Md,Mm1及Mm2所在位置Ld,Lm1及Lm2的大小，即可知基本顶破断线深入煤体(煤柱)的位置。下文研究破断规律的基础参数为:基本顶厚度h、弹模E及泊松比分别为6 m,30 GPa与0.2，边AD与AB长度分别为40与120 m，q为0.3 MPa;k为2.3 GN/m3，c1煤柱支撑系数km1与宽度Lc1分别为0.45 GN/m3与5 m，c2煤柱支撑系数kc2与宽度Lc2分别为0.45 GN/m3与8 m，按照“控制变量法”研究长边两侧采空(煤柱)、短边两侧弹性基础边界基本顶板结构各个主弯矩及所在位置随Lc1,Lc2,kc1,kc2,k,h及E变化规律，从而可得到长边两侧采空(煤柱)基本顶破断规律的影响因素，并进一步研究各个影响因素之间的权重关系。
图5 长边两侧采空(煤柱)基本顶板结构全区域主弯矩云图特征(两侧煤柱宽度较小:Lc1=3 m，Lc2=6 m)
Fig.5 Nephogram characteristics of primary moment of plate of main roof in whole area on both sides of the long side of goaf (coal pillars) (The widths of coal pillars on both sides is smaller:Lc1=3 m,Lc2=6 m)
图6 长边两侧采空(煤柱)基本顶板结构全区域主弯矩云图特征(两侧煤柱宽度较大:Lc1=7 m，Lc2=10 m)
Fig.6 Nephogram characteristics of primary moment of plate of main roof in whole area on both sides of the long side of goaf (coal pillars) (The widths of coal pillars on both sides is larger:Lc1=7 m,Lc2=10 m)
图7 长边两侧采空基本顶主弯矩极值位置
Fig.7 Extreme value positions of primary moments of main roof structure on both sides of the long side of goaf
图8为长边两侧采空时，各个区域内的基本顶主弯矩Md，Mm1与Mm2大小及其位置(深入煤体距离Ld，Lm1，Lm2)随两侧煤柱宽度(其中Lc2-Lc1=3 m)改变时的变化规律曲线图。
图8 主弯矩及深入煤体距离随Lc1变化规律
Fig.8 Change law of principal moments and the distance ahead of coal wall with Lc1
两侧煤柱宽度增大时，Md深入煤体距离Ld变化幅度较小;c1与c2煤柱区主弯矩Mm1与Mm2深入煤柱距离Lm1及Lm2均不断增大。短边主弯矩Md与开采悬顶区主弯矩Mop均减小，这是由于两侧煤柱宽度增大时支撑力相对增强，可分担更多的覆岩载荷，所以Mm1与Mm2增大而短边与中部区主弯矩Md及Mop减小 。
两侧煤柱宽度较小时，Mop>Md>Mm2，可见宽度最小的c1煤柱区无主弯矩Mm1(因该区无负值M3)，这说明煤柱宽度小时，基本顶在c1煤柱区不破断(即c1煤柱区无平行于煤柱轴向的断裂线)，破断位置及顺序为:开采悬顶区中部偏宽度较小、承载力较弱的c1煤柱侧下表面→短边偏c1煤柱侧深入煤体上表面→宽度较大且承载力较强的c2煤柱区上表面，断裂形态为非对称“C-X”型。
两侧煤柱宽度较大，如图中的Lc1数值在5～7 m之间时，Mop>Md>Mm2>Mm1;基本顶破断位置及顺序为:开采悬顶区中部下表面(偏c1煤柱侧)→短边实体煤区上表面(偏c1煤柱侧)→c2煤柱区上表面→c1煤柱区上表面，断裂形态为非对称横“O-X”型。
两侧煤柱宽度继续增大，如图中Lc1数值在7.5～10.5 m之间时，Mop>Mm2>Md>Mm1，此时c2煤柱区主弯矩Mm2大于短边区Md，即基本顶在c2煤柱区先于短边区破断;破断位置及顺序为:开采悬顶区中部下表面(偏c1煤柱侧)→c2煤柱区上表面→短边实体煤区上表面(偏c1煤柱侧)→c1煤柱区上表面，断裂形态为非对称“O-X”型。
由此可见，长边两侧采空时，煤柱的宽度不仅显著影响两侧煤柱区基本顶的主弯矩大小及位置，短边实体煤区主弯矩大小及位置，且显著影响开采悬顶区主弯矩大小及位置。两侧煤柱宽度不相等时基本顶存在非对称破断顺序及非对称破断形态，若不考虑这些，得到的结论将与实际差距很大，从而无法有效指导实践。
如图9所示，两侧煤柱支撑系数增大时(其中kc2-kc1=10 MN/m3)，c1与c2煤柱区的主弯矩Mm1与Mm2深入煤柱距离Lm1,Lm2均减小，这是因为煤柱支撑系数增大相当于两侧煤柱对基本顶的固支(夹支)能力增大，且主弯矩向开采区(煤柱内侧)转移;短边区Md深入煤体距离Ld也减小，但变化幅度小于Lm1与Lm2;两长边煤柱区的主弯矩均增大，而中部Mop及短边Md均减小，这是因为两侧煤柱支撑系数增大时可以承担更多的覆岩载荷。
图9 长边两侧采空主弯矩及深入煤体距离随kc1变化规律
Fig.9 Change law of principal moments and the distance ahead of coal wall with kc1 on both sides of the long side of goaf
当两侧煤柱支撑系数均小时，Mop>Md>Mm2，此时宽度最小的c1煤柱区无主弯矩Mm1(即该区无负值M3)，这说明基本顶在c1煤柱区不产生平行于煤柱轴向的断裂线，破断位置及顺序为:开采区中部下表面(偏c1煤柱侧)→短边实体煤区上表面(偏c1煤柱侧)→c2煤柱区上表面，最终形成非对称“C-X”型破断形态。
当两侧煤柱支撑系数增大时，如图9中的kc1数值在460～780 MN/m3时，Mop>Md>Mm2>Mm1;破断位置及顺序为:开采区中部下表面(偏c1煤柱侧)→短边实体煤区上表面(偏c1煤柱侧)→c2煤柱区上表面→c1煤柱区上表面，最终破断形态为非对称横“O-X”型。
两侧煤柱宽度继续增大，如图9中kc1>780 MN/m3时，Mop>Mm2>Md>Mm1，破断形态为非对称横“O-X”型。
由此可见，两长边采空侧的煤柱支撑系数不仅显著影响煤柱区的主弯矩大小及位置且显著影响开采悬顶区与短边实体煤区主弯矩大小及位置，特别是两长边煤柱支撑系数较大时，基本顶在煤柱区产生平行于煤柱轴向的断裂线，且煤柱支撑能力不同时会形成非对称的破断顺序及非对称的破断形态，而传统的两长边简支+两短边固支模型无法得到这样的有益结论。
如图10所示，基本顶厚度h增大，主弯矩Mop显著增大，煤柱区Mm1,Mm2均减小而其深入煤体距离Lm1与Lm2均增大，Md增长微小但其深入煤体位置Ld显著增大。可见h越大，断裂线深入煤体的距离越大，此时所得结论与图1所示的“2简支边+2固支边”板模型结论差别越大。
h较小时，Mop> Mm2> Md> Mm1，主弯矩的所在位置满足Lm2>Lm1>Ld，基本顶破断位置及顺序为:开采区中部下表面(偏c1煤柱侧)→c2煤柱区上表面→短边实体煤区上表面(偏c1煤柱侧)→c1煤柱区上表面，最终形成非对称横“O-X”型破断形态。
h较大时，如图10中6～8 m时，Mop>Md>Mm2，且Lm2>Ld，可见c1煤柱区无主弯矩Mm1，即c1煤柱区基本顶不产生平行于煤柱轴向的破断线，最终形成非对称“C-X”型破断形态。
h继续增大，如图10中大于8 m时，Mop>Md，此时c1及c2煤柱区均无主弯矩Mm1及Mm2，即c1及c2煤柱区基本顶均不产生平行于煤柱轴向的破断线，最终形成非对称“||-X”型破断形态。
图10 长边两侧采空主弯矩及深入煤体距离随h变化规律
Fig.10 Change law of principal moments and the distance ahead of coal wall with h on both sides of the long side of goaf
可见，长边两侧采空时，基本顶的厚度(基本顶弹性模量E与厚度影响规律相同)不仅显著影响煤柱区主弯矩大小及位置且显著影响实体煤区主弯矩大小及位置，对于不同的基本顶厚度，不宜把长边采空侧的煤柱简单简化为简支边(无宽度也无可压缩性)，否则所得结论不符合实际，而无法有效指导实践。
基本顶强度越大，那么它可以保持越大的悬顶面积(跨距，即指图7中的AD长度)而不破断。研究得到，跨距较大时，基本顶最终形成非对称横“O-X”型破断形态;跨距较小时，最终形成非对称横“C-X”型破断形态，而传统模型得到的基本顶破断形态与跨距无关。可见，长边两侧采空时，对于不同的基本顶跨距，不宜把实体煤区简单的简化为固支边，也不宜把两侧的煤柱区简化为没有宽度和压缩变形特性的简支边，否则所得结论与实际差距大。
弹性基础系数k较小时(其中c1煤柱与c2煤柱的弱化系数满足ξ1=ξ2=0.2)，Mop>Md>Mm2，且主弯矩位置满足Lm2>Ld，此时c1煤柱区无主弯矩Mm1，破断类型为非对称“C-X”型。
k较大时，Md>Mop>Mm2>Mm1，且主弯矩位置满足Lm2>Ld>Lm1，破断类型为非对称横“O-X”型破断形态。
可见，长边两侧采空时，对于不同的弹性基础系数，不宜把两采空侧的煤柱简化为简支边(无宽度也无可压缩性)，也不宜把实体煤区简化为固支边，否则得到结论与实际差距较大(特别是基本顶断裂位置方面)而无法有效指导实践。
图11 长边两侧采空主弯矩及深入煤体距离随k变化规律
Fig.11 Change law of principal moments and the distance ahead of coal wall with k on both sides of the long side of goaf
上文分析可知，两侧的煤柱宽度及支撑系数kc1,kc2，基本顶的h,E，弹性基础系数k均可显著影响长边两侧采空(煤柱)基本顶板结构的破断规律。下面分析各参数之间影响的权重关系。k与E,h均改变(或只k与E，或只k与h改变)，而比值k/(Eh3)不变时(其中两侧煤柱系数ξ1,ξ2为某个任意定值，即E,h与k改变时而kc1/k及kc2/k保持某个任意定值)基本顶板结构各个区域的主弯矩大小及位置不变，破断规律不变，如图12所示。
图12 长边两侧采空基本顶破断的比值不变规律
Fig.12 Ratio invariance law of the fracture of main roof on both sides of the long side of goaf
根据上文对长边两侧采空(煤柱)短边两侧弹性基础边界的基本顶板结构破断规律影响因素的分析，可得到如下总规律并与传统的“2简支边+2固支边”模型(图1)对比。
(1)长边两侧采空条件下，两侧煤柱的支撑系数及宽度均可显著影响中部区及短边区主弯矩大小与位置，尤其是影响两煤柱区的主弯矩大小、位置与破断形式。
(2)两侧煤柱区基本顶断裂类型的影响因素复杂，不仅受到两长边煤柱的支撑系数及宽度的直接显著影响，而且受到煤体系数k及基本顶弹模与厚度的间接显著影响。但比值k/(Eh3)不变时(其中ξ1,ξ2保持某个值不变)主弯矩不变，破断规律不变。
如图13(a)所示，E,h偏大而Lc2,km2,Lc1及km1偏小时，c1与c2煤柱区的基本顶不产生平行于煤柱轴向的破断线，此条件下破断位置及顺序为:中部悬顶区偏c1煤柱(较弱煤柱)侧下表面→短边实体煤区上表面(偏较弱煤柱侧)，最终裂隙贯通形成非对称“||-X”型破断形态。
图13 长边两侧采空(煤柱)基本顶破断类型
Fig.13 Fracturing types of main roof on both sides of the long side of goaf (coal pillars)
如图13(b)所示，h,E较大而Lc1及km1较小时c1煤柱区基本顶不产生平行于煤柱轴向的断裂线，而c2煤柱区会产生，此条件下基本顶的破断位置及顺序为:中部悬顶区下表面(偏较弱煤柱侧)→短边实体煤区上表面(偏较弱煤柱侧)→较强煤柱区(煤柱c2)上表面，最终裂隙贯通，破断形态为非对称“C-X”型。
如图13(c)所示，E,h较小而两侧煤柱支撑系数与宽度较大时，基本顶在两侧煤柱区均会产生平行于煤柱轴向的破断线，破断位置及顺序为:中部悬顶区下表面(偏较弱煤柱侧)→短边实体煤区上表面(偏较弱煤柱侧)或者较强煤柱区的上表面→较弱煤柱区的上表面，最终形成非对称横“O-X”型破断形态。
只有明晰基本顶的断裂顺序、形态、断裂线所在位置等才能明确矿压产生的原因，也才能利用矿压并采取针对性措施进行有效控制。下面选取一个方面，即从基本顶断裂线所在位置角度进行阐述长边两侧采空(煤柱)基本顶板结构模型的重要工程意义。由考虑两侧煤柱宽度与支撑能力及实体煤可变形特性的基本顶板结构模型得到，煤柱侧基本顶的断裂线位置有3种:如图14(a)所示，两侧煤柱区均无断裂线;如图14(b)所示，只有一侧煤柱区有断裂线，断裂的基本顶块体非对称;如图14(c)所示，两侧煤柱区均有断裂线且是非对称的，断裂的基本顶块体也是非对称的。
图14 考虑边界可变形特性基本顶在煤柱区的断裂位置
Fig.14 Fracture position of the mainroof in the coal pillar area by considering the boundary deformability
而图14(d)为传统的两侧采空基本顶板结构模型(实体煤侧固支边+煤柱侧简支边模型)得到的基本顶断裂位置示意图，即基本顶在煤柱侧的断裂线也沿着煤壁，且断裂的岩块为对称分布的。显然若分析断裂后基本顶岩块的稳定性，传统模型图14(d)无法反映岩块的实际边界条件，得到的结论必定与实际有较大差别，对实践的指导意义也十分有限。
现给出一具体算例说明，图3中推进长度AB为90 m、工作面长度AD为56 m，基本顶厚度与弹性模量分别为7 m,31 GPa，实体煤区弹性基础系数1.2 GN/m3。c1煤柱宽度Lc1与支撑系数kc1分别为6 m与430 MN/m3，c2煤柱宽度Lc2与支撑系数kc2分别为8 m与450 MN/m3。计算得到基本顶在c1煤柱区不产生平行于煤柱轴向的断裂线，基本顶断裂线深入c2煤柱区距离Lm2=3.8 m，即为如图14(b)所示基本顶断裂位置示意图，也是图13(b)的I-I剖面图。若两侧煤柱宽度均为7 m，则断裂线深入煤柱距离Lm1=Lm2=3.2 m，而传统模型得到Lm1=Lm2=0且与煤柱宽度及支撑系数无关，即如图14(d)所示的煤柱侧断裂线均沿着煤柱。显然传统模型所得结论不符合实际，无法分析基本顶破断的实际位置及形态的非对称性，也无法符合实际的研究破断后块体之间的稳定性。
如图15(a)(图13(b)的II-II剖面图)所示为基本顶断裂位置与支架之间的位置关系图，基本顶在短边实体煤区刚断裂时断裂线并不是沿着煤壁，而是超前煤壁距离Ld，那么刚断裂的基本顶在工作面前方有宽度为Ld的煤体支撑，支架压力并不会显著增大，工作面随即向前推进，前方支撑已断裂基本顶的煤层宽度逐渐减小，直至推进到断裂线下方时，工作面压力才会显著增大，该位置也是支架上方顶板最易发生滑落失稳或者回转失稳的位置。由此可见，基本顶破断与工作面显著来压有时空差关系，刚破断位置并不是显著来压位置，工作面推进到断裂线下方时才是显著来压和最危险位置。
图15 工作面短边实体煤侧基本顶断裂位置示意
Fig.15 Fracture position diagram of main roof in the short-side solid coal area of working face
而传统模型由于假设实体煤侧为固支边界，所以得到的结论是基本顶刚断裂时断裂线沿着煤壁，即Ld=0，如图15(b)所示，显然该结论不符合实际，无法解释基本顶破断与显著来压之间的时间差与距离差关系，也无法指导利用这个时间差(即利用关键时间节点[20])提前采取措施加强支架初撑力且加强支架维护等，以防止工作面推进到断裂线下方时出现切顶压架事故。
(1)长边两侧采空时，煤柱的支撑系数及宽度不仅显著影响两侧煤柱区的基本顶主弯矩大小及位置，且显著影响短边实体煤区与开采区中部的主弯矩大小及位置，所以两长边采空时的煤柱区不宜简单简化为简支边(没有压缩特性且没有宽度)，否则得到的结论与实际围岩条件下的差别过大而不能有效指导实践。
(2)基本顶弹模与厚度越大，两侧煤柱区与短边实体区的断裂线深入煤体距离Lm1,Lm2及Ld越大(断裂线越深入煤体);长边采空侧的煤柱宽度增大时，煤柱区断裂线越深入煤柱，而Ld先增大后减小;弹性基础系数减小或两侧煤柱的支撑系数减小时，Lm1,Lm2及Ld均增大，即断裂线深入煤体距离增大，此时得到的结论与传统的“2长边简支+2短边固支”模型区别越大。
(3)基本顶弹模E与厚度h大而长边两煤柱的参数Lc1,kc1,Lc2及kc2小时，c1与c2煤柱区的基本顶不断裂，破断形态为“||-X”型;Lc1及kc1较小而h与E较大时较强煤柱区的基本顶会断裂而较弱煤柱区的基本顶不断裂，破断形态为“C-X”型;E,h较小而两侧煤柱的支撑系数与宽度均较大时，破断形态为非对称横“O-X”型。比值k/(Eh3)不变时(其中，比值k/kc1与比值k/kc2也不变)，破断基本规律不变。
采矿环境极其复杂且复杂边界条件下的板结构模型计算难度又很大，传统的固支+简支板结构模型远不能满足全面分析问题的需要，当然本文的力学模型也不能完全表达长边两侧采空时基本顶的实际围岩环境及力学特征，但是本文考虑了更多实际因素，且得到的结论有效弥补了传统“2长边简支+2短边固支”模型的诸多缺陷，对长边两侧采空基本顶的破断规律及矿压控制方面的认识又推进了一步。
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