张 兵1，崔希民2，赵玉玲2,3,李春意4
(1.石家庄学院 资源与环境科学学院，河北 石家庄 050035; 2.中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘工程学院，北京 100083; 3.河北工程大学 矿业与测绘工程学院，河北 邯郸 056038; 4.河南理工大学 测绘与国土信息工程学院，河南 焦作 454000)
摘 要:针对优化分段Knothe时间函数的参数求取问题，给出了2种求参方法:① 以本矿区，或地质、采矿条件相似矿区的地表监测资料为基础，提出了“反算时间函数对比求参法”，给出了详细的参数求取流程，该法直观、易操作，且具有通用性，可用于其他时间函数的参数求取;② 以采空区达到充分采动尺寸时的地表沉陷规律，及相应概率积分参数为基础，推导了时间参数的“直接计算法”公式，该方法参数意义明确，求参过程简便，能直接应用于编程计算。预计实践表明，采用本文方法求参，动态预测最大相对误差可控制在9%以内，随着开采时间的增加，动态预测精度将会逐渐提高，最终维持在5%左右;根据统计，地表最大下沉值预测相对误差则可维持在6%左右。应用实践证明了论文所给出的求参方法的实用性与可靠性。
关键词:开采沉陷;动态预计;分段Knothe时间函数;求参方法
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张兵，崔希民，赵玉玲,等.优化分段Knothe时间函数求参方法[J].煤炭学报,2018,43(12):3379-3386.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.0369
ZHANG Bing,CUI Ximin,ZHAO Yuling,et al.Parameter calculation method for optimized segmented Knothe time function[J].Journal of China Coal Society,2018,43(12):3379-3386.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.0369
中图分类号:TD325
文献标志码:A
文章编号:0253-9993(2018)12-3379-08
收稿日期:2018-03-22
修回日期:2018-05-19
责任编辑:常 琛
基金项目:国家自然科学基金面上资助项目(51474217,41671507);石家庄学院博士科研启动基金资助项目(18BS001)
作者简介:张 兵(1979—)，男，河南潢川人，副教授，博士。E-mail:zhbing1020@126.com
ZHANG Bing1,CUI Ximin2,ZHAO Yuling2,3,LI Chunyi4
(1.School of Resource and Environmental Science,Shijiazhuang University,Shijiazhuang 050035,China; 2.College of Geoscience and Surveying Engineering,China University of Mining and Technology (Beijing),Beijing 100083,China; 3.School of Mining and Geomatics,Hebei University of Engineering,Handan 056038,China; 4.School of Surveying and Landing Information Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，China)
Abstract:To overcome the problem of parameters calculation for optimal segmented Knothe time function,two calculation methods are presented.Firstly,based on the surface monitoring data of a mining area,or mining areas with similar geological and mining conditions,the back-calculation and comparison method of parameter determination is proposed.It gives a detailed parameter calculation process,which is intuitive,easy to operate,and versatile,and can also be used to obtain the parameters for other time functions.Secondly,based on the surface subsidence law when the goaf reaches its full mining size,and the corresponding probability integration parameters,a “direct calculation method” of parameter determination is proposed.The parameters of the method are clear in meaning,and the process of parameter calculation is convenient and can be directly applied to program calculation.Through the dynamic prediction practice,it is shown that the maximum relative error of the dynamic prediction can be controlled within 9% using the method described in the paper.With the increase of mining time,the dynamic prediction accuracy will gradually increase and it will eventually be maintained at around 5%.According to the statistics,the relative prediction error of the maximum surface subsidence can be maintained at around 6%.Application practice proves the practicability and reliability of the method proposed in the paper.
Key words:mining subsidence;dynamic prediction;segmented Knothe time function;calculation method for parameters
对开采沉陷随时间变化的动态过程进行研究，具有重要的现实意义，因为在地质和采矿条件确定后，采动地表移动变形与工作面开采的时间过程、推进速度、是否连续开采等有着密切的关系，只有掌握地表移动变形的动态过程，才能更好的进行开采工艺设计、制定建筑物的保护方案以及后续的沉陷区土地生态修复等工作[1
4]。以往的开采沉陷预计多是针对地表移动稳定后的情况进行的，没有考虑地表移动变形的动态变化因素，因此预计结果在应用中存在着一定的局限性。关于动态预计，现有的方法基本都是将时间函数与静态预计模型相结合来构建动态预计公式[5-8]，故而，在动态预计中恰当的选择时间函数尤为重要，我国最常使用的时间函数是Knothe时间函数，但鉴于该函数在应用中存在的一些不足，很多研究者提出过改进方案[9-11]，常占强、王金庄等在该函数的基础上，提出了分段Knothe时间函数，张兵、崔希民等[12]对分段Knothe时间函数进行了优化，扩展了该时间函数的应用范围。在动态预计中，很多学者还提出过许多不同的时间函数模型[13-16]，如Sroka-Schober时间函数、广义时间函数、正态分布时间函数模型等。
时间函数确定之后，最重要的工作便是确定其参数。时间函数的参数是采空区上覆岩层组合状况、力学性质、工作面推进速度和顶板管理方法等因素的综合反映[2,17]，因此在进行动态预计时，能否准确的确定时间参数，直接决定着动态预计结果精度的高低。在文献[12]中，笔者对分段Knothe时间函数进行了改进，改进后的时间函数改善了原时间函数存在的不足，增加了其对于不同地质和采矿条件的适应性，本文将重点探讨其参数的确定方法，为其在动态预计中的应用提供理论基础。
针对分段Knothe时间函数在理论上存在的不足之处，张兵、崔希民等[12]通过研究，对原函数进行了优化改进，改进后的时间函数解决了原函数在分段点处时间函数值与理论值不相符，以及时间函数最大值不能收敛到1的问题;同时，在实际应用中，优化后的分段Knothe时间函数也不再依赖于其两个预计参数乘积大小的影响，扩展了该时间函数对于不同地质、采矿条件的适用性。优化后的分段时间函数如式(1)所示。
(1)
该时间函数包含2个参数τ和c，对于某一地表点来说，τ是指该地表点下沉速度出现最大值的时刻，单位为d或a，根据相关文献[18-19]，对于近水平煤层开采而言，此时，地表点的下沉值在理论上应近似等于最大下沉值的1/2;对于整个地表下沉盆地而言，τ是指地表出现最大下沉值的点从开始移动到移动稳定所经历总时间的1/2;c一般称为“时间系数”或“时间常数”，它的大小主要取决于工作面上覆岩层的物理力学性质及工作面的推进速度等因素，量纲为1/a或1/d。
为了更清楚的了解优化后分段Knothe时间函数的性质特征，下面给出其函数图像。当选取τ =100 d时，式(1)对应的时间函数图像如图1所示。
图1 优化分段Knothe时间函数图像形态(τ=100 d)
Fig.1 Function image of optimized Knothe time function
(τ=100 d)
通过图1可知，优化后的时间函数满足动态预计时间函数的3个特征，即:① 时间函数值在0～1之间变化;② 函数值从0～1有个迅速增加的阶段;③ 函数值在后半段慢慢趋近于1，达到1后不再增加。从图1中还可看出，当参数τ 取固定的数值时，对于相同的预计时刻，参数c取值越小，对应的时间函数值就越小，在预测时对应的地表下沉值就越小;反之时间函数值就越大，对应的地表下沉也越大。当参数τ 取值增大时，对应的时间函数曲线在前半段和后半段的形态将更为平缓，反之则更为陡峭，但并不会改变不同c值函数图像之间的相应关系。
为了保证动态预计结果的精度，在进行动态预计之前，应结合具体的矿区，首先确定分段时间函数2个参数的值。
2.1.1 参数τ值的确定
此方法应用的前提是:要以本矿区或类似地质和开采条件下的地表监测数据为基础。现随机选择官地矿29401工作面地表观测站走向观测线上(图2)的A17，A21和A28号点作为研究对象，详细说明根据已知观测数据求取时间函数的参数的方法。
该工作面从2010-05-15开始开采，2011-03-10停采，对地表观测线共观测10次，通过对监测数据分析可知，到2011-06-08地表下沉基本达到了稳定状态。表1列出了A17,A21和A28号点每期观测的具体时间及其对应的下沉值，并计算了相对观测时间(各观测日期减去第一次日期)。
图2 官地矿29401工作面监测点分布及开采情况
Fig.2 Monitoring point distribution and mining schedule of 29401 working face
表1 A17，A21和A28地表下沉监测数据
Table 1 Surface subsidence observative data of the points of A17,A21 and A28
根据时间系数c的定义[20]，见式(2)，可计算A17，A21和A28号点的时间系数，见表2。
(2)
求出了在不同观测时间间隔的地表下沉系数后，以时间间隔为横轴，以时间系数(时间函数值)为纵轴，绘制反算的时间函数图像，如图3所示。
图3是根据实测数据求得的A21号点动态下沉的时间系数图像，从中可知，其最大下沉速度(时间函数曲线斜率出现最大值的时刻)出现在125～140 d。在水平或缓倾斜煤层开采条件下，当地表某点的下沉速度达到最大时，该点的下沉值在理论上应等于其终态下沉值的1/2，此时的时间系数，即动态预计的时间函数值在理论上应等于0.5。从图4(红色点线为反算时间函数)可知，对A21号点而言，时间函数的参数τ应等于131。
表2 A17，A21和A28地表下沉时间系数
Table 2 Time coefficient of surface subsidence of the points of A17,A21 and A28
图3 反算时间函数图像
Fig.3 Inverse time function
2.1.2 参数c值的确定
参数c是与上覆岩层的物理力学性质、煤层的开采深度、开采厚度、开采速度等密切相关的参数，对于具有相同开采条件和地质条件的矿区，c值在理论上应是相同的。为了确定一个矿区的c值，可以利用地表已有监测数据，采用对比分析法求取。以A21点为例，因为参数τ已确定为131，选取不同的c值绘制时间函数的图像，如图4所示，观察图像的形态，当某个函数形态与通过实测数据反算的时间函数形态达到相对吻合较好时，便可用相应的c值作为参数值。
图4 A21点实测与理论时间函数曲线对比
Fig.4 Contrast between the measured and the theoretical time function of A21 point
具体的，从图4可知，当c的取值介于0.030～0.038时(量纲为1/d，下同)，时间函数曲线与根据实测数据反算的时间函数曲线最为吻合，经过对比，参数c值取0.034最为合适。由于观测误差的存在，通过一个监测点求取的c值还不能满足精度要求，这时可以通过选取多个观测点来求取c值，再取其平均值来确定。图5是根据监测点A17，A21和A28的实测数据反算的时间函数图像，由于这3点与开采工作面的相对位置不同，因此它们各自的最大下沉速度τ出现的时刻也不同，即:不同监测点的τ值是不同的。从图5可知，A17点最大下沉速度出现的时刻(τ时刻)为下沉后的第83天，A28点则为第220天。采用与A21点相同的方法，利用监测点A17和A28的实测值求取的c值(图6)分别为0.039和0.038，然后取3点所计算c值的平均值作为本矿区时间常数c的最终值，即为0.037。
图5 A17，,A21，A28号点反算时间函数图像
Fig.5 Inverse time function for points of A17,
A21 and A28
图6 A17与A28反求时间函数与理论时间函数对比
Fig.6 Contrast between the measured and the theoretical time function of A17 and A28 point
需要指出:在理论上，选取的监测点样本越多，所求取的c值就越准确，但通过大量的计算实验可知，如果观测数据不存在粗差，通过随机选取的移动基本接近稳定的3个点所求取的c值与通过更多样本所求取的c值相比，其数值变化很小，因此在实践中，用随机选取的移动接近稳定的3个点来确定c值是可行的。
从上面的分析可知，参数c是与矿区地质条件和开采条件密切相关的参数，对于不同的矿区，当上述条件相似时，c值则基本相同，因此，利用已有矿区的地表监测资料求取的c参数，可以用于本矿区以及其他具有类似地质条件和开采条件矿区的动态预计。
2.2.1 参数τ值的确定方法一
根据《建筑物、水体、铁路及主要井巷煤柱留设与压煤开采指南》[21](以下简称:“三下”采煤规程)，在无实测数据资料时，地表移动变形的持续总时间(TZ)可采用式(3)进行计算:
TZ=2.5H0
(3)
其中，H0为工作面平均采深，d。在对我国许多矿区观测资料深入分析的基础上，“三下”采煤规程中给出了地表下沉3个阶段(初始期、活跃期和衰退期)所持续的时间与地表移动总时间之间的关系，并指出:当地表下沉活跃期结束时，地表移动变形所持续的时间约为地表移动总时间的56%。此外，郭广礼等通过对鲍店矿实测数据的分析[22]，指出:分层开采时地表下沉的初始期和活跃期所经历的时间之和约占地表移动总时间的54.8%。这与规程中的规律基本吻合。因此，在没有实测数据的情况下，分段Knothe时间函数的参数τ，可采用式(4)确定。
τ=0.5×56%TZ
(4)
2.2.2 参数τ值的确定方法二
当工作面开采达到充分采动时，根据相关文献[2,23-24]可知，此时受采动影响的地表点的下沉量近似等于地表终态最大下沉量的0.98倍。根据概率积分法理论，当工作面推进到(1.2～1.4)H0时，地下开采将达到充分采动，如果工作面以速度v匀速推进，此时工作面达到充分采动的时间t介于1.2H0/v～1.4H0/v区间，此时τ值可用式(5)近似计算:
(5)
需要强调的是:工作面充分采动距离和采动覆岩的物理力学性质密切相关，根据对大量观测资料的分析可知[17-18]，充分采动距离(1.2～1.4)H0是反映了不同岩性工作面充分采动距离的一个变化区间，式(5)计算的τ值是一个参数取值区间，在实际应用中，当具体到某已知矿区时，充分采动距离是已知的，因此，在应用中可求得参数τ的准确数值。考虑到工作面上覆岩层岩性及其组合的不同，接下来参数c值的确定方法中，也是以取值区间的形式给出。在第3部分的实例验证中，由于研究对象是已知矿区，其充分采动距离已知，故采用本文方法可以计算出准确的参数值，进而可以代入动态预计模型进行动态预计。
2.2.3 参数c值的确定方法一
根据分段Knothe时间函数的定义，当工作面达到临界开采尺寸时，参数τ的取值如果采用式(5)进行计算，则下式成立:
(6)
(7)
对公式进行整理后，可求得c值的区间:
(8)
当某个矿区的开采临界尺寸L为已知时,式(5)就不再是一个区间，此时τ=0.5L/v，代入式(6)或(7)，即可推出式(9)，c值则可直接确定:
(9)
需要指出的是，图中c值的单位是1/d，当换算为1/a时，需要乘以365。
根据文献[17,23]可知，以概率积分法作为预计模型时，如果当矩形或近似矩形开采工作面某一个方向的开采尺寸达到L=2r时，便可认为在该方向达到了充分采动的条件，如果考虑到拐点偏移距离的影响，则
L=2r+2s
(10)
其中，r为主要影响半径;s为拐点偏移距,m。将式(10)代入式(9)，则式(9)可重写为
(11)
从式(11)可知，c值的大小与开采速度v，开采深度H0,主要影响角正切tan β和拐点偏移距s有关，影响因素中既有地质条件因素，也有采矿条件因素，计算公式中，各个变量的物理意义明确，只要获得了某一矿区的概率积分预计参数，便可准确的求取该矿取的c值，且计算出的c值不再是一个估计区间，而是一个确定的值，这样也就便于利用计算机编程来实现。
2.2.4 参数c值的确定方法二
如果在工作面开采停止后，在t1时刻测得的地表点的下沉增量为ΔW1，在t2时刻测得的地表点的下沉增量为ΔW2，那么式(12)成立:
(12)
式(12)也可表示为
(13)
上式是以开采停止瞬间为时间的计算起点，即T=0，相应的下沉为WT，ΔWk为开采停止后T→+
最终下沉增量。根据分段时间函数的定义，如果t1，t2<τ，则式(13)可用时间函数中的Φ1(t)进行计算，表示为式(14)，否则采用Φ2(t)计算，以前者为例，下式成立:
(14)
将ΔW1和ΔW2相除可得:
(15)
如果开采临界尺寸L已知，根据前面的讨论可知，τ=L/2v，将τ值代入(15)用逐次逼近法或将其展开成级数，便可求取参数c的值。如果能够测得开采停止以后(t→)的最终的下沉增量ΔWk，c值还可采用式(16)进行求解。
(16)
在用式(15)和(16)求解参数c时，开采停止的时刻为计算时间的起点，当开采没有停止时，开采工作面距离该点的水平距离为主要影响半径时为计算时间的起点。
为了验证利用上述方法求取参数的可靠性，以官地矿29401工作面开采作为动态预测对象，将地表沉陷的动态预计结果和观测站实测结果进行对比分析并统计其预测精度。29401工作面及监测点的相对位置如本文图2所示，为了预测程序算法的简洁性，图2是经过坐标系转换之后的相对关系图。
该工作面煤层倾角平均为5°，开采长度为571 m，开采宽度为164 m，平均采深为260 m，平均采厚为7.5 m，平均开采速度为2 m/d。根据文献[23]可知，该矿的开采沉陷影响传播角为86.2°，走向方向主要影响角正切值为1.9，下山方向主要影响角正切值为2.2，上山方向主要影响角正切值为2.0，下沉系数为0.79，水平移动系数为0.35。图2中还标注了每个区间的开采长度、开采起止时间、工作面的推进方向，工作面的倾角方向等。
动态预计采用的时间函数为优化后的Knothe时间函数，编制预计程序时，按照本文方法计算参数τ值和c值。需要指出:τ和c的值与开采速度有关，通常情况下，开采速度并非定值，需要根据实际开采情况来确定预计时刻之前阶段的平均开采速度，然后代入公式求取动态参数。预计的走向观测线地表下沉曲线如图7所示。
图7 29401工作面走向观测线下沉预测结果 Fig.7 Prediction subsidence figure of strike observation line of 29401working face
对29401工作面地表监测站的10次观测结果进行处理，绘制了地表走向(A线)观测线的地表下沉曲线图，如图8所示。
图8 29401工作面走向观测线实测下沉
Fig.8 Observation subsidence figure of strike observation line of 29401 working face
3.2.1 走向观测线动态预计精度
抽样对走向观测线第3，5，7，9次实测下沉与预测下沉进行对比，结果如图9所示。
采用文献[23,25]中所介绍的方法(由于该方法在不同的文献中出现较多，在此不再累述)，对抽样观测4个期次的预测结果和实测结果进行统计计算，可以得出动态预计的精度，统计数据见表3。
通过计算可知，动态预计的最大中误差为 
450 mm，最小中误差为 275 mm，由于官地矿采厚较大，下沉的绝对量也很大，通过计算，预测的相对误差均控制在9%以内，从统计数据可以看出，随着工作面的推进，动态预测的相对精度将会逐渐提高，从第3次的9.0%逐渐提高到第9次的5.2%。
图9 走向观测线第3，5，7，9次实测下沉与预测下沉对比
Fig.9 Comparison figure between surveying subsidence and predicted subsidence of strike observation line surveyed at the 3，5，7 and 9 times
表3 走向观测线动态预测精度统计(第3，5，7，9次)
Table 3 Dynamic prediction accuracy of strike observation line (surveyed at 3，5，7 and 9 times)
3.2.2 最大下沉点动态预计精度
为了进一步验证，本文还统计分析了地表最大下沉点的预计精度。具体的，将最大下沉点各个时段的动态预测数据和实测数据提取出来，进行绘图和统计，得到的对比结果如图10所示。
图10 最大下沉点实测下沉与预测下沉对比
Fig.10 Comparison between the measured subsidence and the predicted subsidence of the maximum subsidence point
从图10可以看出，前3期的最大下沉点的预测值和实测值基本吻合，预测误差很小，后几期的预测值小于实际最大下沉值，预测误差较大，通过对数据的分析计算与统计，可求得最大下沉点的预测中误差为±321 mm，预测相对误差则为6.04%。
(1)基于矿区实测数据，针对分段Knothe时间函数的参数求取问题，提出了“反算时间函数对比求参法”，给出了利用该法求取参数的详细步骤。该方法具有通用性，对于其它时间函数的求参问题，也可采用与此相似的方法。
(2)基于矿区概率积分参数，建立了针对分段Knothe时间函数的“直接计算法”求参模型，该模型参数意义明确，求参过程简便，可直接应用到预计程序中，避免了以往时间函数求参与程序开发过程不能统一的问题，提高了运行效率。
(3)通过动态预计实践可知，采用本文方法求参(2种方法可相互对比验证)，动态预测的相对误差可控制在9%以内，地表最大下沉相对预测误差可控制在6%左右，进一步证明了本文给出的求参方法的实用性与可靠性。
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