采场覆岩关键层破断距的计算对于预测采场来压具有重要的意义。已有研究主要侧重分析处于低位的基本顶岩层的破断距[1-2]，将基本顶岩层视为梁或板进行理论推导和计算[3-6]。当所涉及的关键层距开采煤层较远时，仅用梁或板计算推导得到的破断距并不完全等同于关键层破断时工作面的推进距离。为了建立距煤层较远时关键层破断距与工作面推进距的对应关系，国内一些学者[7-9]使用最多的是三角函数估算法。实际上，覆岩结构要复杂的多，由于岩性、厚度和载荷等的不同，各关键层破断形成的破断角均不相同。覆岩破断最终形成的结构仍有待研究，但可以肯定的是，仅通过简单的几何关系去建立工作面推进距和关键层破断距的关系已很难满足现场计算和预测的需求，并且覆岩综合破断角的确定也具有一定的主观性和随意性。
为确定关键层破断距与工作面推进距的关系，需要确定更为接近实际的覆岩结构模型[10-11]。覆岩结构的形成归结于覆岩关键层的破断，每一层关键层的破断角都会影响覆岩最终结构的形态，因而要建立完整覆岩结构首先要对覆岩关键层破断角进行研究。
由于关键层破断角的原位测量和统计受到现场条件和测量手段的限制，现场所测结果并不能完整正确地反映整个岩层的破断形态[12]。鉴于此，通过力学分析和模拟实验对关键层破断角进行研究，可以获得现场实测所无法得到的结论。
本文基于弹性力学和岩体力学的相关知识，建立关键层破断的力学模型，定量推导覆岩关键层破断角的表达式。通过物理模拟实验，对力学表达式的合理性和结果的可靠性进行分析验证。
1 关键层破断角的力学推导
基于弹性力学和岩体力学，建立采场上覆关键层破断的梁力学模型，从力学的角度推导关键层破断角的表达式。
1.1 关键层岩梁应力分量求解
将关键层看作均质体，内部无裂隙发育。图1表示关键层岩梁，上表面受均布压力qc作用，自由端受集中力Q′和N′作用，产生的弯曲挠度为Δ(文中涉及岩梁分析均为浅梁)。
图1 关键层岩梁力学模型
Fig.1 Mechanical model of key stratum beam
设在点C(L，h/2)应力函数U及其一阶偏导数为0。于是有以下边界条件
(1)
式中，N′和Q′的值由式(2)计算可得。
如图2所示，假设破断岩块满足断块挤压结构，破断岩块对支承端的作用力N′和Q′可按下式计算:
(2)
式中，L为岩梁悬跨长度,m。
图2 破断岩块拱式平衡
Fig.2 Arch beam balance of fractured rock mass
将梁的悬跨部分AB视为在均布载荷qc和集中力Q′作用下梁的纯弯曲，由材料力学知识，可求得Δ:
(3)
在平面应变条件下，弹性模量E应取E/(1-μ2)，I为抗弯模量，
(取b=1)。
欲使式(1)第1个条件成立，试取下列形式的应力函数
(4)
由边界条件式(1)，有
(5)
将式(5)代入双调和方程[13]，满足的条件为
(6)
求式(6)的通解，再由边界条件式(5)确定待定常数，得
(7)
代入式(4)，得应力函数
(8)
最后得应力分量为
(9)
1.2 关键层梁式破断角分析
在关键层岩梁内部取一单元体，单元体的受力状态如图3所示。与σx作用面夹角为α的平面上，所作用的应力可用式(10)计算[14]:
图3 单元体应力状态
Fig.3 Unit stress state
上述公式对α求导可得，单元体最大主应力σ1与正应力σx,σy和剪应力τxy的关系表达式为
(11)
最大主应力σ1与σx的夹角θ1可按式(12)求得
(12)
将式(9)代入式(12)得
(13)
令x=0，y=0，则有
(14)
对于θ1的取值，假设极限情况下岩梁悬跨长度L等于岩梁的高度h，有θ1=35°。由于岩梁悬跨长度总大于岩梁高度，因而总有3L/h>3，所以θ1>35°。由反三角函数可知，θ1最大值为45°。因而θ1的取值范围为35°～45°。
根据摩尔库仑准则[15]可知，岩石破断面与最大主应力σ1的夹角θ2为
θ2=45°-φ/2
(15)
式中，φ为岩石的内摩擦角，一般情况下φ=38°～45°。
由几何关系(图4)可得，岩石破断面与水平面的夹角为β=θ1+θ2，即
(16)
图4 岩石破断面与水平面的夹角
Fig.4 Angle between the rock fracture surface and the horizontal plane
由以上推导，结合各参数的常用取值，得出岩石破断面与水平面的夹角(简称破断角)β的取值范围为57.5°～71.0°。
2 关键层破断角影响因素分析
由式(16)可知，关键层破断角与关键层岩石的内摩擦角、岩层厚度和岩层破断时的悬跨长度等因素有关。
由材料力学估算的岩层初次破断步距和周期破断步距可得岩层破断时的悬跨长度L的表达式为
(17)
式中，h为关键层厚度，m;RT为关键层岩石抗拉强度，MPa;q为关键层所承受载荷，MPa。
将式(17)代入式(16)，可得关键层破断角与各影响因素的关系表达式为
(18)
式中，l为关键层破断距准数，初次破断取
周期破断取
由关键层理论[16]可知，式(17)和式(18)中关键层载荷q可用式(19)求得
(19)
式中，E为关键层弹性模量，GPa;Ei为第i层载荷岩层弹性模量，GPa;γ为关键层岩石容重，MN/m3;γi为第i层载荷岩石容重，MN/m3;hi为第i层载荷岩层厚度，m;n为关键层上覆载荷层层数[16]。
由式(18)和式(19)可知，关键层破断角的影响因素分别为:① 和关键层有关的岩层参数:内摩擦角、抗拉强度、岩层厚度、弹性模量、岩层容重;② 和载荷层有关的岩层参数:岩层厚度、弹性模量、岩层容重。
对于某一采场覆岩，覆岩的岩性是确定不变的，也即岩石的内摩擦角φ、抗拉强度RT、岩层容重γ、弹性模量E等反映岩石物理力学特性的参数均为固定值。而由于岩层厚度分布的不均匀，因此，对于某一采场覆岩，影响关键层破断角的主要因素为关键层厚度和上覆载荷层厚度。
为了说明关键层厚度和载荷层厚度对关键层破断角的影响，考虑较为简单的覆岩组成，即假设关键层上覆只有一层载荷层。则式(19)可简化为
(20)
式中，E′为载荷岩层弹性模量，GPa;γ′为载荷岩石容重，MN/m3;h′为载荷岩层厚度，m。
将式(20)代入式(18)，得
(21)
固定式(21)中各参数的取值，改变关键层厚度h和载荷层厚度h′。各参数的具体取值见表1。
表1 关键层破断角影响参数取值
Table 1 Values of rock strata breaking angle influence parameters
2.1 关键层厚度h对破断角β的影响
选取表1所列参数，改变h的取值。经计算，可得破断角β与h的关系曲线，如图5(a)所示。随关键层厚度h增大，破断角逐渐减小。关键层厚度为5 m时，初次破断角为68.8°，周期破断角为68.6°。关键层厚度为100 m时，初次破断角为63.2°，周期破断角为61.7°。关键层厚度由5 m增大到100 m时，初次破断角减小5.6°，周期破断角减小6.9°。随关键层厚度的增大，岩层周期破断曲线斜率大于初次破断曲线，说明关键层厚度对岩层周期破断角的影响程度更大。
图5 岩石破断角与关键层和载荷层厚度的关系
Fig.5 Relation between breaking angle and the thickness of key stratum and load layers
2.2 关键层上覆载荷层厚度h′对破断角β的影响
选取表1所列参数，改变h′的取值。经计算，可得破断角β与h′的关系曲线，如图5(b)所示。关键层破断角在h′=25 m时达到最小值，对应初次和周期破断角分别为65.2°和64.2°。当h′<25 m时，随载荷层厚度h′的增大，破断角逐渐减小;当h′>25 m时，随载荷层厚度h′的增大，破断角逐渐增大。
载荷层厚度为5 m时，初次破断角为65.6°，周期破断角为64.6°。载荷层厚度为100 m时，初次破断角为67.3°，周期破断角为66.7°。载荷层厚度由5 m增大到25 m时，初次破断角减小0.4°，周期破断角减小0.4°。关键层厚度由25 m增大到100 m时，初次破断角增大2.1°，周期破断角增大2.5°。
当h′<25 m时，载荷层厚度对岩层初次和周期破断角影响程度基本相同;当h′>25 m时，载荷层厚度对岩层周期破断角影响程度略大。
2.3 h/h′对破断角β的影响
图6为关键层厚度与载荷厚度比值h/h′对岩石破断角的影响。
图6 关键层厚度与载荷厚度比值h/h′对岩石破断角的影响
Fig.6 Influence of ratio of key stratum thickness to load layers thickness h/h′ on breaking angle
当h/h′<1.5时，关键层破断角随h/h′比值的增大而减小，载荷层厚度变化对关键层破断角的影响程度大于关键层厚度变化的影响。
当h/h′>1.5时，载荷层厚度增大引起关键层破断角减小，关键层厚度增大引起关键层破断角减小，两者对关键层破断角的影响作用相同，关键层厚度变化对关键层破断角的影响程度大于载荷层厚度变化的影响。
当h/h′=4时，关键层厚度变化与载荷层厚度变化对破断角的影响程度相同。
3 关键层破断角物理模拟实验验证
模拟试验台尺寸为长×宽×高=3 m×0.4 m×1.8 m。模型以河砂为骨料，石膏配合碳酸钙为胶结材料[17]。相似模拟试验模型以杨柳煤矿104采区地质条件和岩体力学参数为参考。模型的开采煤层厚度为8 m，模型共铺设5层关键层，其中主关键层厚度为60 m，与开采煤层间距80 m。模型两端各留25 cm煤柱，模型回采长度2.5 m，几何相似比为1/200。相似模型的覆岩组成及主要参数见表2。
采场覆岩在煤层采出后以某一固定角度发生破断垮落，破断线与岩层走向线之间的夹角称为关键层破断角。对走向长壁工作面而言，工作面推进方向即为岩层的走向方向，因而此时的关键层破断角也可视为破断线与工作面推进方向的夹角。受关键层的控制作用，覆岩一般会由下而上以关键层为分组破断垮落。对单层关键层而言，岩层破断形成的破断角称为单层破断角(图7(a));以关键层为底托层分组破断形成的破断角称为组合破断角(图7(b))。
表2 模型岩层参数及材料配比
Table 2 Model rock parameters and material ratio
图7 关键层破断角
Fig.7 Breaking angle
由关键层理论[13]和实验结果可知，关键层上覆载荷层与关键层同步破断运动，因而可将关键层和其载荷层视为一个整体，由关键层和载荷层组合形成的组合破断角可近似用关键层的破断角来代替(图7(b))。
模拟过程中每一步开挖都对各关键层组合破断角进行统计，且工作面侧和开切眼侧的组合破断角分别统计，关键层破断角随采动的变化规律如图8所示。 图8中的每一个点分别代表每一次开挖统计所得到的数据，但并不代表每一次关键层的破断。由图8可以明显看出，关键层破断角的变化主要受初次和周期破断的影响，关键层每次的破断都会引起破断角的变化;当关键层处于稳定状态时，关键层破断角基本保持不变。
实验过程测得各关键层的初次破断角明显大于周期破断角，由此验证了本论文中由式(16)得出的结论:关键层破断角与关键层破断时的悬跨长度等因素有关。对于某一岩性确定的关键层而言，岩石的内摩擦角和岩层厚度都已确定，因而关键层破断角主要取决于岩层破断的悬跨长度。由现场实测可知关键层初次破断悬跨长度大于周期破断悬跨长度，因而关键层初次破断角大于周期破断角。
众所周知当工作面推进到某一距离时，关键层在开切眼处开裂后，其破断角为某一定值。但由图8可以看出，实验过程中实测到的开切眼侧断裂角并不是唯一固定的值，这是由于开采后期原本已破断垮落的下伏关键层受到上覆垮落岩层的挤压作用，断裂角发生微小的变化。
图8 各关键层组合破断角与工作面推进距离关系
Fig.8 Relationship between composite breaking angle and retreating distance of working face
相比开切眼侧断裂角，工作面侧断裂角的变化较为明显，是因为随着工作面的不断推进，处于采空区内的开切眼上覆岩层逐渐趋于稳定，而工作面附近覆岩受采动影响，不断发生破断垮落，断裂角也随之变化。
为更清楚的反映各关键层破断角的变化，将关键层在工作面侧和开切眼侧的关键层破断角的变化范围和平均值进行统计(表3)。
表3 关键层破断角范围及平均值
Table 3 Key stratum breaking angle range and average value (°)
结合表3和图8对覆岩关键层破断角进行分析，得出物理模拟实验的关键层破断角范围为50°～70°。由1.2节理论推导得出的关键层破断角β的取值范围为57.5°～71.0°。由此可知，力学分析所得关键层破断角的计算表达式具有较高的可靠性。
同时，物理模拟实验揭露出关键层破断角随工作面推进的变化特点:
(1)关键层呈对称破断，工作面侧和开切眼侧的破断角近乎相等。
(2)不同厚度和岩性的关键层破断形成的破断角明显不同。
(3)关键层初次破断角大于周期破断形成的破断角。
4 结 论
(1)基于弹性力学和岩体力学，本文推导得出了关键层破断角的计算表达式，得出关键层破断角的变化范围为57.5°～71°，通过物理模拟实验得到破断角为50°～70.0°，理论计算结果与实验模拟结果吻合较好，说明理论推导关键层破断角的计算公式具有较高合理性和可靠性。
(2)关键层破断角的影响因素涉及关键层的岩层参数有:内摩擦角、抗拉强度、岩层厚度、弹性模量、岩层容重;涉及载荷层的岩层参数有:岩层厚度、弹性模量、岩层容重。对于某一采场覆岩，影响关键层破断角的主要因素为关键层厚度和上覆载荷层厚度。
(3)当h/h′<1.5时，关键层破断角随h/h′比值的增大而减小，载荷层厚度变化对关键层破断角的影响程度大于关键层厚度变化的影响。当h/h′>1.5时，载荷层厚度增大引起关键层破断角减小，关键层厚度增大引起关键层破断角减小，两者对关键层破断角的影响作用相同，关键层厚度变化对关键层破断角的影响程度大于载荷层厚度变化的影响。当h/h′=4时，关键层厚度变化与载荷层厚度变化对破断角的影响程度相同。
(4)岩层破断呈两侧对称破断，工作面和开切眼两侧的破断角近乎相等。
(5)不同厚度和岩性的关键层破断形成的破断角明显不同。
(6)关键层初次破断角大于周期破断形成的破断角。
参考文献(References):
[1] 钱鸣高,石平五,许家林.矿山压力与岩层控制[M].中国矿业大学出版社,2010.
[2] PENG Syds.Coal mine ground control[M].Xuzhou:China University of Mining and Technology Press,2013.
[3] 谢生荣,陈冬冬,孙颜顶,等.基本顶弹性基础边界薄板模型分析(Ⅰ)——初次破断[J].煤炭学报,2016,41(6):1360-1368.
XIE Shengrong,CHEN Dongdong,SUN Yanding,et al.Analysis on thin plate model of basic roof at elastic foundation boundary (Ⅰ):First breaking[J].Journal of China Coal Society,2016,41(6):1360-1368.
[4] 刘学生,宁建国,谭云亮.近浅埋煤层顶板破断力学模型研究[J].采矿与安全工程学报,2014,31(2):214-219.
LIU Xuesheng,NING Jianguo,TAN Yunliang.Study on roof breaking model of near shallow seam[J].Journal of Mining and Safety Engineering,2014,31(2):214-219.
[5] 杨敬虎,孙少龙,孔德中.高强度开采工作面矿压显现的面长和推进速度效应[J].岩土力学,2015,36(S2):37-41.
YANG Jinghu,SUN Shaolong,KONG Dezhong.Effect of working face length and advancing speed on strata behaviors in high-intensity mining[J].Rock and Soil Mechanics,2015,36(S2):37-41.
[6] 付国彬.老顶的初次破断步距和周期破断步距[J].湖南科技大学学报自然科学版,1993(1):12-20.
FU Guobin.First and periodic fracture length on main roof[J].Journal of Hunan University of Science and Technology:Natural Science Edition,1993(1):12-20.
[7] 蒋金泉,张培鹏,秦广鹏,等.高位主关键层破断失稳及微震活动分析[J].岩土力学,2015,36(12):3567-3575.
JIANG Jinquan,ZHANG Peipeng,QIN Guangpeng,et al.Analysis of destabilized fracture and microseismic activity of high-located main key strata[J].Rock and Soil Mechanics,2015,36(12):3567-3575.
[8] 张润兵.杨柳煤矿上覆双层厚硬火成岩破断运移规律研究[D].徐州:中国矿业大学,2014.
ZHANG Runbing.Fracturing migration rules of overlying double thick-hard igneous in Yangliu Coal Mine[D].Xuzhou:China University of Mining and Technology,2014.
[9] 杨培举,何烨,郭卫彬.采场上覆巨厚坚硬岩浆岩致灾机理与防控措施[J].煤炭学报,2013,38(12):2106-2112.
YANG Peiju,HE Ye,GUO Weibin.Disaster-causing mechanism and control measures of extremely thick and hard magmatic rock above working face[J].Journal of China Coal Society,2013,38(12):2106-2112.
[10] 姜福兴.采场覆岩空间结构观点及其应用研究[J].采矿与安全工程学报,2006,23(1):30-33.
JIANG Fuxing.Viewpoint of spatial structures of overlying strata and its application in coal mine[J].Journal of Mining & Safety Engineering,2006,23(1):30-33.
[11] 姜福兴,张兴民,杨淑华,等.长壁采场覆岩空间结构探讨[J].岩石力学与工程学报,2006,25(5):979-979.
JIANG Fuxing,ZHANG Xingmin,YANG Shuhua,et al.Discussion on overlying strata spatial structures of longwall in coal mine[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2006,25(5):979-979.
[12] 陈盼,谷拴成,张幼振.浅埋煤层垂向重复采动下地表移动规律实测研究[J].煤炭科学技术,2016,44(11):173-177.
CHEN Pan,GU Shuancheng,ZHANG Youzhen.Study on site measurement of surface movement law under shallow depth coal and vertically repeated mining[J].Coal Science and Technology,2016,44(11):173-177.
[13] 吴家龙.弹性力学[M].北京:高等教育出版社,2010.
[14] 沈明荣,陈建峰.岩体力学[M].上海:同济大学出版社,2009.
[15] 王渭明,杜更社,张向东,等.岩石力学[M].徐州:中国矿业大学出版社,2010.
[16] 钱鸣高.岩层控制的关键层理论[M].徐州:中国矿业大学出版社,2003.
[17] 王创业,司建锋,杜小雅,等.基于相似模拟实验覆岩移动规律研究[J].煤炭技术,2017,36(1):61-63.
WANG Chuangye,SI Jianfeng,DU Xiaoya,et al.Research on strata movement law based on similar simulation test[J].Coal Technology,2017,36(1):61-63.