自一个多世纪前特斯拉提出了无线电能传输理论之后世界各国的科学家开始对无线电能传输技术进行研究，但一直没有取得理想成果。直到2007年麻省理工学院的Marin Soljacic利用强磁耦合谐振技术在距离2 m左右位置点亮了一盏60 W的灯泡，并且效率达到了40%[1]。该技术具有效率高、传输功率大、电磁辐射小等诸多优点，且摆脱了电力线的束缚，该技术可以应用到军事、航天、矿井开采、医疗植入[2-3]、家用电器、电动汽车[4]等领域，给人们的生活和工作带来了巨大的便利。因此，无线电能传输理论和应用技术得到了广泛的关注，成为研究热点[5-7]。
由于无线电能传输可以减少物理接触，安全性较高，便于移动设备供电，毋庸置疑将成为未来供电的主要方式。随煤炭综采技术及信息化技术的发展，对矿井无线供电的需求逐渐凸显，无线输电技术也将逐步应用于煤矿井下[8-11]。目前，磁耦合谐振式无线电能传输系统主要采用平行共轴线圈结构，且线圈参数相同。但是在如医疗植入等特殊应用场合既要求线圈尺寸不能太大，又要保证传输功率及效率，这样就需要针对线圈的尺寸以及传输距离等进行研究。目前的文献基本是针对共轴平行线圈进行的研究，但是在家庭使用、医疗植入以及电车充电等很多应用场景，共轴平行且结构相同的线圈是非常苛刻的要求，难以满足现场应用的实际需要，所以非常有必要对共轴非平行线圈结构及非完全相同线圈结构进行研究。影响非平行线圈结构无线电能传输效率的主要因素有2方面：① 接收线圈的偏移角度，这是共轴非平行线圈结构特有的参数，反映出接收和发射线圈非平行的偏移程度，很大程度上影响着共轴非平行线圈结构无线电能传输系统的传输效率;② 接收和发射线圈间的距离，和传统的平行线圈结构一样，传输距离对无线输电效率有直接影响，传输距离对无线输电传输效率的影响程度和线圈的尺度有关，为了综合反映出传输距离相对于线圈尺寸的比值对传输效率的影响，本文定义了传输距离半径比的概念。而影响非对称线圈结构无线电能传输的主要因素是发射线圈和接收线圈的半径值，为了方便研究非对称结构线圈对无线电能传输特性的影响，本文定义了线圈半径比的概念。研究传输距离半径比，线圈半径比与偏移角度对传输效率的影响，对发射线圈及接收线圈的设计以及动态和静态无线电能传输有效范围的确定等具有重要的意义。也为磁耦合谐振式无线电能传输技术的推广使用奠定了基础。
磁耦合谐振式无线电能传输系统是通过线圈之间的近场磁耦合传递能量的，为了提高传输效率、传输距离以及传输功率，世界各国的科学家进行了大量的研究。文献[12]叙述了研究现状和研究进展，将强磁耦合技术与其他技术进行了对比分析，并讨论了目前的研究方向以及发展趋势。文献[13]针对收发线圈之间的距离、非平行线圈结构等因素进行了研究。文献[14]运用倒数距离在圆柱坐标中的一种解耦展开公式，提出了以变形Bessel函数和变形Struve函数表示的平行轴圆柱线圈互感的新表达式。文献[15]从一个圆电流的矢势出发，导出了任意两共轴圆线圈间互感系数的函数表达式，并利用Matlab绘出了互感系数随两线圈间距离及两线圈半径变化的分布图。文献[16]针对不同的偏移情况，提出了一种关于互感值计算的确切方法，但是没有针对各因素之间对传输效率的相互影响进行讨论。在文献[17]中提到耦合线圈尺寸的不同和相对位置的变化会引起线圈互感的变化，从而影响无线电能的传输特性，并研究了任意空间矩形截面空心线圈之间的互感计算方法。文献[18]提出了一种基于混沌优化算法的参数动态调节方法，实现了系统几个参数的最优匹配，有效的提高了发射线圈与接收线圈非同轴放置时的传输效率。文献[19]中针对同轴放置的密绕线圈之间的互感与线圈半径比及线圈间距之间的关系进行了讨论。文献[20]中针对线圈半径，线径，线圈电导率等因素对传输距离的影响进行了相应的分析。在文献[21]中针对线圈匝数、偏移角度、径向偏移以及任意空间位置等对传输功率与效率的影响进行了相关研究。在文献[22-23]中针对耦合线圈的共轴平行，共轴非平行，平行非共轴，以及任意空间放置情况的互感问题作了详细的分析计算，并给出了相应的计算方法。文献[24]针对在磁耦合谐振式无线电能传输系统中角度偏移是否会对接收电能产生影响的问题进行了研究，根据空间任意放置的空心线圈的耦合系数与方向的关系分析了改变方向对耦合因数的影响，提出系统在过耦合、临界耦合和欠耦合3种状态下的方向特性。
本文以电路理论为基础构建无线电能传输系统模型，研究了共轴非平行时传输距离半径比，线圈半径比及偏移角度对磁耦合谐振式无线电能传输效率的影响，通过实验验证了该理论分析的正确性，丰富了磁耦合谐振式无线电能传输研究的理论也为进一步研究推广使用无线电能传输提供了参考。
1 磁耦合谐振式无线电能传输系统
对于典型的磁耦合谐振式无线电能传输系统而言包含4个线圈：源线圈、发射线圈、接收线圈、负载线圈。依靠两个具有相同谐振频率的线圈进行能量交换。图1为共轴非平行非对称线圈结构无线电能传输系统的发射和接收模型。
图1 共轴非平行非对称线圈结构WPT系统模型
Fig.1 Model of WPT system with asymmetric coils with non-parallel coaxial
磁耦合谐振式无线电能传输系统的等效电路模型如图2所示。
图2 磁耦合谐振式无线电能传输系统等效电路
Fig.2 Equivalent circuit model of WPT system
图2中，US为高频电源;RS为电源内阻;RL为负载;Le1～Le4分别为源线圈、发射线圈、接收线圈和负载线圈的等效电感;Ce1～Ce4分别为4个线圈的等效电容;Re1,Re2,Re3,Re4分别为源线圈、发射线圈、接收线圈和负载线圈由集肤效应等因素产生的损耗电阻和线圈辐射电阻之和。在计算时不考虑线圈之间的交叉耦合。
2 系统输出功率和效率计算
在本文的分析中利用两线圈模型进行分析。图3为两线圈模型的简化电路。图3中R1,R2分别为发射线圈和接收线圈的由于集肤效应等因素产生的损耗电阻和线圈辐射电阻之和;L1,L2分别为发射线圈和接收线圈的等效电感;M12为发射线圈和接收线圈之间的互感。
图3 两线圈磁耦合谐振无线电能传输简化模型
Fig.3 Simplified circuit of WPT of two coils model
图3中的发射与接收线圈通过磁场进行能量交换。互感M12的大小直接影响整个系统的性能。
假设流过发射与接收线圈的电流分别为I1，I2，方向如图3中所示，系统的角频率为ω。根据KVL回路方程可以列出下式：
(1)
对式(1)进行求解可以得到：
(3)
其中，
由式(2)和(3)可以得到输入功率与负载消耗的功率公式如下：
(5)
则整个磁耦合谐振无线电能传输系统的传输效率表达式为
(6)
因为在发射线圈与接收线圈之间发生谐振时传输效率达到最大，在谐振时Δ1=Δ2=0，则传输效率公式为
100%
(7)
在文献[1]中分析了高频情况下线圈的欧姆损耗电阻Ro和辐射损耗电阻Rr的计算公式：
(9)
式中，μ0为真空磁导率;n为线圈匝数;σ为电导率;r为线圈半径;l为长度;a为线径;h为线圈宽度;ε0为介电常数;c为光速。
在高频情况下线圈的欧姆损耗电阻Ro远大于辐射损耗Rr，所以在分析的时候为了简单计算只考虑欧姆损耗电阻Ro。
在式(7)的基础上利用Maltlab软件对互感值对传输效率的影响进行仿真分析得到图4。
图4 互感与传输效率关系
Fig.4 Relation between mutual inductance and transfer efficiency
由图4可知,互感M对传输效率有较大的影响。随互感值的增大传输效率逐渐增大，但达到一定程度就趋于稳定，这与文献[20]介绍的过耦合、临界耦合、欠耦合3种状态相符。
3 共轴非平行轴线圈互感的计算
图5为发射线圈与接收线圈共轴，但是存在偏移角度的示意图。图5中,α为偏移角;d为轴向偏移距离。
图5 同轴非平行线圈模型
Fig.5 Model of non-parallel coaxial coils
在文献[25]中推导了任意状态时线圈之间的互感值公式，O2点的坐标是(0,0,d)：
(10)
其中，n1，n2，μ0分别为线圈的匝数、真空磁导率。
两线圈共轴非平行时，径向距离为0。因此：
dl1=(-r1sin θ+r1cos θ)dθ
(11)
dl2=(-r2sin φcos α+r2cos φ+sin φsin α)dφ
(12)
2r1r2(cos θcos φcos α+sin θsin φ)]1/2
(13)
则两线圈之间互感为
(14)
式中，r1，r2为两线圈半径。
3.1 偏移角度与距离半径比对互感的影响
在研究偏移角度与传输距离半径比对互感的影响时，将发射线圈与接收线圈的参数设置为完全相同，则两线圈半径r1=r2=r。假设传输距离与半径比为b=d/r。将b代入则式(13)，(14)可以得到：
(15)
其中，R=[2+b2-2bcos φsin α-2(cos θcos φcos α+sin θsin φ)]1/2。
由式(15)可知，半径r与函数成一次函数的关系，半径的大小对研究传输距离半径比对互感的影响趋势无关。对于式(15)无法利用解析法求解，借助于Matlab可以求得数值解并画出互感随偏移角度与距离半径比的变化图。
图6 共轴非平行时互感与b,α的关系
Fig.6 Relation between mutual inductance and b,α with non-parallel coaxial structure
利用Matlab可画出M随传输距离半径比b和偏移角度α变化的三维图形，如图6所示，由图6可看到，固定b改变α时，互感M随偏移角度的增加逐渐下降。固定偏移角度α改变传输距离半径比b时，随b的增加互感值M先增加后减小。在某个b值上，互感M有极大值，而且，α改变时极大值的位置和极值均会发生变化。由图6可知，互感值存在负值，这是因为随距离的增加，磁通的方向发生变化，导致互感发生变化，这与文献[23]中的研究结果相符。但是在应用互感的时候一般情况下都是利用互感的绝对值。由图6可知，传输距离半径比b和偏移角度α对互感有着极大的影响。
3.2 偏移角度与线圈半径比对互感的影响
为了方便研究非相同尺寸线圈结构与偏移角对互感值的影响，定义了线圈半径比e=r1/r2，传输距离与接收线圈半径比e2=d/r2。将e，e2代入式(13)，(14)可以得到：
(16)
其中，
φsin α-2e(cos θcos φcos α+sin θsin φ)]1/2。
为方便研究，本文在研究发射与接收线圈半径比和偏移角度对两线圈间互感的影响时，将发射线圈半径设定为0.1 m，传输距离设定为0.1 m。
由图7可知,在偏移角度α一定时，随线圈半径比e的增加互感先增加后减小，且在一定范围内达到最大值。当e变化时，偏移角对互感的影响也发生变化，偏移角不同，e对互感的影响也不同。在本文的仿真环境中，在e=0.75时偏移角度对互感的影响最大，互感达到最大值。
图7 共轴非平行时互感与e，α关系
Fig.7 Relation between mutual inductance and e,α with non-parallel coaxial structure
4 共轴非平行线圈结构无线电能传输效率的分析
4.1 传输距离半径比对传输效率的影响
磁耦合谐振式无线电能传输系统利用空间分离线圈之间的电磁耦合实现电能的传递，线圈间互感的大小和变化直接影响无线电能传输系统的传输功率及传输效率等特性。在研究中基于式(7)和(15)针对传输距离半径比b和偏移角α对耦合谐振式无线电能传输效率的影响做了仿真研究。得到了传输效率随传输距离半径比b及偏移角α的变化3D曲线,如图8所示。
图8 共轴非平行时效率与b,α的关系
Fig.8 Relation between efficiency and b,α with non-parallel coaxial structure
从仿真得到的三维图形可知,在两线圈共轴非平行的情况下，随传输距离与线圈半径比b与线圈偏移角度的变化，效率发生极大的变化。在偏移角度较小的时候随偏移角度的增加效率基本不发生变化，偏移角度较大的时候随偏移角度的增加传输效率逐渐降低，传输距离半径比b越大效率保持基本不变的偏移角度的范围越小，但是衰减速度也越快。随传输距离半径比b的增加，偏移角度α对传输效率的影响减小。在偏移角度α一定时随传输距离半径比b的增加传输效率先增加后逐渐降低，但是上升的趋势很微弱，偏移角度越大随传输距离半径比b的增加上升的趋势越明显，下降的趋势也越大，偏移角α在80°附近时，传输距离半径比b对传输效率的影响最大，但是在偏移角度为90°的时候效率几乎为0。
4.2 线圈半径比对传输效率的影响
基于式(7)和(16)针对发射线圈与接收线圈半径比e和偏移角α对耦合谐振式无线电能传输效率的影响做了仿真研究。为了方便计算，在仿真时发射线圈半径r1=0.1 m，传输距离d=0.1 m，得到了图9(a)。在发射线圈半径r1=0.1 m，偏移角度α=30°时对线圈半径比e与传输距离对效率的影响进行仿真得到图9(b)。
图9 共轴非平行时效率与e,α，d的关系
Fig.9 Relation between efficiency and e,α and d with non-parallel coaxial structure
由图9可知，随发射线圈与接收线圈半径比e的增加传输效率先增加后减小，在e=0.75时达到最大值，随偏移角度的增加线圈半径比e对传输效率的影响先增大后减小，偏移角α在80°附近时半径比e对传输效率的影响最大;偏移角度对传输效率的影响随半径比e的增加先增加后减小，在e=0.75时偏移角度对传输效率的影响最大。传输距离一定时随半径比e的增加，传输效率先增加后减小，传输距离越大先增加的趋势越小。传输距离越大线圈半径比e对传输效率的影响越大。
5 实验分析
为了验证本文中传输距离半径b与偏移角度α对磁耦合谐振式无线电能传输效率影响的理论分析正确性，设计了耦合谐振式无线电能传输系统的实验平台。实验平台主要包括高频信号发生器(UTG2062A)、功率放大器(自制)、发射线圈、接收线圈、阻抗匹配器、高频Q表(QBG-3)、RLC数字电桥(TH2817)等。使用补偿电容使谐振频率在10 MHz附近。信号发生器将信号输入到功率放大器放大之后接发射线圈。接收线圈接收到的能量加载到负载。在做实验之前利用RLC数字电桥及高频Q表测量谐振线圈的电感值及分布电容，方便计算补偿电容值，使线圈达到完全谐振的状态。在实验中为了做到阻抗匹配，在功率放大器与发射线圈之间接阻抗匹配器，负载采用美国生产的负载电阻盒，EMC5307ALN，阻值为50 Ω。在接收线圈与负载之间串接通过式功率表，测量接收功率。
图10 功率放大器输出波形
Fig.10 Output waveform of the amplifier
图10为自制功率放大器的输出波形。功率放大器采用经典的C类功率放大器，功放管采用IRF530型MOS管，为了达到阻抗匹配效果，在功率放大器的输入输出端设计了阻抗匹配网络。图11为共轴非平行线圈结构的实验装置，图中发射与接收线圈由线径为2 mm的铜线通过密绕方式绕制而成，匝数为10，半径为10 cm。
图11 无线输电装置
Fig.11 Prototype of the MCR WPT system
为了有效的验证相关的理论分析，在实验中分别针对偏移角度为20°，40°，60°，80°时传输距离半径比对传输效率的影响，及传输距离半径比分别为0.5，1，2，3时偏移角度对传输效率的影响。通过将试验数据进行拟合得到图12和13。
图12 传输距离半径比对效率的影响
Fig.12 Effect of the ratio of distance to radius on the efficiency
图13 偏移角度对效率的影响
Fig.13 Effect of the ratio of distance to radius on the efficiency
由图12可知,在偏移角度为20°，40°，60°的时候效率差别不大，且偏移角度越大传输距离半径比对传输效率的影响越大。在偏移角度为80°时传输距离半径比对效率的影响明显增加。在传输距离半径比小于1.5的时候传输距离半径比对效率的影响很小，但是在大于1.5的时候随传输距离半径比的增加传输效率的下降速度明显增加，且偏移角越大，下降速度越快。
由图13可知,传输距离半径比越大，随偏移角度的增加效率下降的趋势越平缓，即对传输效率的影响越小。在传输距离半径比一定时，随偏移角度的增加效率逐渐降低，在两线圈接近垂直时效率为0。偏移角在0°～60°，效率基本不发生变化，但是随传输距离半径比的增加，这种范围会减小。
6 结 论
(1)以电路理论和耦合模理论为基础，通过传输距离、偏移角与互感之间的关系推导了传输距离半径比，偏移角与传输效率之间的关系公式。分析了偏移角与传输距离半径比对共轴非平行线圈之间互感的影响。
(2)分析了不同传输距离半径比时，偏移角度对传输效率的影响。在偏移角度较小时效率基本不发生变化，偏移角度稍大的时候随偏移角度的增加传输效率逐渐降低，传输距离半径比越大效率保持基本不变的偏移角度的范围越小，但是衰减速度也越快。随传输距离半径比的增加，偏移角度的变化对传输效率的影响越平缓。
(3)分析了不同偏移角时，传输距离半径比对传输效率的影响。在偏移角度一定时随传输距离半径比的增加传输效率先增加后逐渐降低，但是上升的趋势很微弱，偏移角在80°附近时，传输距离半径比对传输效率的影响最大。在传输距离半径比小于1.5时对效率的影响很较小，但是在大于1.5时对传输效率的影响明显增加，且偏移角越大，下降速度越快。
(4)发射线圈与接收线圈半径比e对无线电能传输效率的影响与偏移角度、传输距离等有关。随偏移角度的增加线圈半径比e对传输效率的影响先增加后减小，偏移角在80°附近时，半径比e对传输效率的影响最大;偏移角度对传输效率的影响随半径比e的增加先增加后减小，在e为0.75时达到最大。传输距离越大线圈半径比e对传输效率的影响越大。
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