冲击地压是煤矿最严重的动力灾害之一，对冲击地压发生机理的研究已形成了很多理论。早期的冲击地压理论认为，冲击地压是煤岩局部应力超过强度而发生的，这一理论称为冲击地压的强度理论。COOK等[1]提出了冲击地压的能量理论，认为在采矿过程中，能量释放的增加率超过材料的能量耗散能力，将引发冲击地压;BIENIAWSKI等[2]通过煤样的应力应变实验室试验结果，结合现场调查，提出了两个冲击倾向性指标——弹性能指数和冲击能量指数，建立了冲击倾向性理论;COOK等将井下矿柱与围岩关系比拟为试件与试验机关系，对冲击地压的刚度理论展开了研究;PETUKHOV等[3]认为冲击地压是由于岩石超过峰值强度后的应变软化造成的，并对采场和巷道的冲击地压进行了简单分析;李玉生等[4]在总结了强度理论、能量理论和冲击倾向理论的基础上提出了“三准则”理论;章梦涛等[5-6]提出冲击地压是煤岩的一种材料失稳破坏现象，认为受应力集中影响，煤岩局部应力超过峰值强度，转变为应变软化材料，当处于非稳定状态时，遇扰动发生冲击地压;潘一山等对煤矿典型结构冲击地压进行了理论分析，得到了一系列解析解，基本实现了从定性分析到定量分析的突破[7-11];齐庆新等[12]建立了“三因素”机理模型，认为内在因素、力源因素和结构因素是导致冲击地压发生的最主要因素;窦林名等[13]提出了冲击地压的强度弱化减冲理论;姜福兴等[14]提出了“覆岩空间结构-空间应力场-区域性冲击”与“局部应力异常-微震”的深部冲击地压多尺度非线性动力学模型;潘俊锋等[15]提出了冲击地压的启动理论，将冲击地压的发生分为启动阶段、冲击地压能量传递阶段和冲击地压显现阶段3个阶段，提出了冲击地压启动的条件，认为将冲击地压遏制在启动阶段可有效防治冲击地压;姜耀东、潘一山等[16]分析了冲击地压、岩爆和矿震之间存在的联系和区别，建立了材料失稳型冲击地压、滑移错动型冲击地压和结构失稳型冲击地压3种力学模型，总结归纳了近年来我国在冲击地压机理与防治技术方面的研究成果及存在问题。
上述理论从不同侧面揭示了冲击地压发生机理，但存在不足之处:没有给出煤岩变形系统严格的定义;没有给出基于机理分析的煤岩变形失稳的数学力学模型和发生失稳的判别条件;没有给出冲击地压发生的理论公式;没有建立基于冲击地压发生理论的监测和防治;没有使冲击地压机理、监测、防治形成体系。笔者针对煤矿冲击地压问题，提出煤岩体变形系统的控制量、扰动量、响应量，认为冲击地压是煤岩变形系统在扰动下响应趋于无限大而发生的失稳，给出了冲击地压扰动响应失稳条件。严格按扰动响应失稳理论导出了圆形巷道发生冲击地压的解析解。完全从控制量、扰动量和响应量的角度对冲击地压的监测和防治进行了叙述，进而使冲击地压扰动响应失稳理论从机理、预测和防治方面形成了一个完整的体系。
1 煤岩体变形系统及其稳定性
各种建筑物或结构物都是由基本构件组成的物体系统。物体系统保持其原有平衡状态的能力称为稳定性。物体系统不能保持其原有平衡状态的现象称为失稳。系统的平衡状态分为稳定平衡和非稳定平衡。稳定平衡的情况如图1(a)所示，在小球和凹面组成的系统中，如果小球受到微小扰动而偏离平衡位置，小球将围绕原来的平衡位置来回摆动，最后仍回到原来的平衡位置。非稳定平衡的情况如图1(b)所示，在小球和凸面组成的系统中，如果小球受到微小扰动而偏离平衡位置，小球不能再回到原来的平衡位置，称这种平衡状态为非稳定平衡。这种情况下的小球与结构面组成的平衡系统受到外部扰动后不能保持其原有的平衡状态而发生失稳现象。失稳后，小球将释放其在原平衡位置的势能。这种释放能量的过程在某种情况下将产生极大的破坏性。图2为几种典型冲击地压问题的煤岩体变形系统。
图1 系统的两种平衡状态
Fig.1 Two kinds of equilibrium state of system
图2 典型煤岩变形系统
Fig.2 Typical coal rock deformed system
2 煤岩变形系统的控制量、扰动量和响应量
在煤岩变形系统中，把决定能否发生冲击地压的煤岩体变形系统内部固有属性定义为冲击地压控制量，典型控制量如煤岩冲击倾向性指数、煤岩单轴抗压强度、煤岩弹性模量、煤岩层厚度、巷道半径等，见表1;把施加在煤岩变形系统边界上的对冲击地压起到诱发作用的物理量定义为冲击地压扰动量，典型扰动量如开采、巷帮扩修、爆破、开采速度变化、顶板断裂等，见表2;将煤岩变形系统在扰动量的作用下输出的物理量定义为响应量，典型响应量如顶板下沉、巷道收敛、煤体钻屑量、电磁辐射、电荷感应、支架应力、围岩破坏等，见表3。
表1 煤岩变形系统控制量名称及符号
Table 1 Control quantities and their symbols of coal rock deformed system
表2 采矿作业扰动名称及扰动量
Table 2 Disturbance names and disturbance quantities of mining
表3 煤岩变形系统响应名称及响应量
Table 3 Response names and response quantities of coal rock deformed system
3 冲击地压扰动响应失稳发生机理及判别准则
煤矿井下巷道、采掘工作面等煤岩体在地应力和采动应力共同作用下产生变形，微破裂不断发生发展，当高应力区域的煤体应力超过峰值强度后，破坏形成耗能的塑性变形区，而其周围煤岩体构成蓄能的弹性变形区。当煤岩体变形系统达到非稳定平衡状态时，遇到开采等扰动后，煤岩变形系统失稳，蓄能的弹性变形区煤岩体释放能量，破坏塑性区和支护，剩余能量转化为动能，发生冲击地压。
对于处于平衡状态的煤岩变形控制系统，假设在外载荷P作用下，产生的塑性软化变形区特征深度为ρ，产生的特征位移为u(顶板下沉量或巷道收敛位移)。在这个控制系统中，扰动量是岩体应力，响应量是塑性区特征深度或顶板下沉量或巷道收敛位移，控制量是煤岩单轴抗压强度σc、冲击倾向性指数K。某一时刻，当外载荷P产生了一个微小扰动增量ΔP，此时响应产生的塑性软化变形区由ρ增加到ρ+Δρ，产生的特征位移由 u增加到u+Δu。若响应增量Δρ或Δu是有界的或有限的，则此时平衡状态是稳定的，扰动消失后又处于新的平衡状态。若煤岩变形系统处于非稳定平衡状态，则无论扰动增量ΔP多么小，都会导致塑性软化变形区或特征位移的无限增长，即
，或
(1)
4 圆形巷道扰动量、响应量和控制量之间的关系
研究表明，中国煤矿已发生的2 510次有相关数据记录的冲击地压有2 178次发生在巷道中，占冲击地压总数的86.8%，所以研究巷道冲击地压具有典型性。下面研究给出一般情况下，圆形巷道扰动量、响应量、控制量之间的关系。
设巷道半径为a，巷道内壁支护应力为ps，在远处受地应力P作用，如图3所示。忽略重力，沿巷道轴线方向取单位宽度进行分析，则为轴对称平面应变问题。
图3 巷道冲击地压分析模型
Fig.3 Analysis model of roadway rockburst
图4为煤的全程应力应变曲线，假设峰值强度前为直线上升，峰值强度后为线性软化。则冲击倾向性指数定义为
(2)
式中，K为冲击倾向性指数;λ为应力-应变曲线峰后软化模量;E为应力-应变曲线峰前弹性模量。
图4 冲击倾向性指数K计算示意
Fig.4 Calculation schematic diagram of rockburst tendency index K
如果煤的全程应力应变曲线在峰值强度前是线弹性直线上升，峰值强度后应变软化是线性软化下降，在这种理想情况下，冲击能量指数和冲击倾向性指数的数值相同。但二者表述的物理意义不同，冲击倾向性指数是完全从机理出发得出的反映煤岩体结构稳定性的参数，可从该参数出发计算出煤岩体发生失稳的临界载荷。将煤岩体实际所受载荷与临界载荷进行比较，就可对冲击地压进行预警。而冲击能量指数仅是实验室实验得到的煤的单轴应力应变曲线峰值强度前后面积的比值，没有明确的理论支撑就简单推广到现场进行预警。
岩石在单轴压缩下的一维损伤演化方程为
D=0 (ε<εc)
(3)
式中，D代表损伤模量，以三维情况下的等效应变
代替单轴情况下应变ε，得到三维情况下的损伤演化方程
(5)
其中,ε1，ε2,ε3为主应变。设弹性区和软化区交界处应力为
则弹性区内应力解答为
(7)
其中，r代表弹性区半径。由此可得交界处应力
(8)
软化区和弹性区交界处采用莫尔-库仑屈服准则
σθ=mσr+σc
(9)
其中,
将式(8)代入式(9)得
(10)
在软化区内，由几何关系和体积不可压缩条件，得等效应变
(11)
其中，B为积分常数。软化区内处于三向应力状态，根据塑性力学中单轴应变推广到三轴应变的一般方法，则该处的等效应变
代入式(11)，得
(12)
代入式(4)得软化区内损伤演化方程为
(13)
软化区内材料损伤的情况下，有效应力分量为
将莫尔-库仑屈服准则中的应力用有效应力代替，得
所以
(14)
不考虑体积力，则软化区内平衡方程为
(15)
根据平衡方程和屈服条件得损伤区内应力满足的偏微分方程为
(16)
解此方程得应力为
(17)
式中，Q为积分常数。
由边界条件σr(a)=ps，得
所以
(18)
由r=ρ处径向应力连续条件，得
(19)
式中，P为圆形巷道煤岩变形系统扰动量;σc，K，m，a为圆形巷道煤岩变形系统控制量;ρ，ps为圆形巷道煤岩变形系统响应量，即式(19)给出了圆形巷道煤岩变形系统控制量、扰动量、响应量之间的关系。
5 圆形巷道扰动响应失稳判据
由冲击地压发生的扰动响应判别准则
得
(20)
其中，ρcr为发生冲击地压时的临界软化区半径。将式(20)代入式(19)，得发生冲击地压时的临界应力Pcr
(21)
若不考虑支护应力，即ps=0，则式(21)简化为
(23)
一般情况下可取内摩擦角φ=30°，代入式(23)得
(24)
6 冲击地压扰动响应失稳临界指标及其现场确定方法
6.1 临界指标
煤岩变形系统扰动量、响应量分别存在临界指标，达到临界指标冲击地压发生。对于井下煤岩变形系统，由式(24)可见，扰动量，巷道所受应力存在一个临界指标，当巷道实际所受载荷超过临界应力时，系统就会在外界扰动的作用下失稳发生冲击地压。同样，由式(22)可见，响应量，巷道破坏区的半径，也存在一个临界指标，当巷道实际破坏区的深度达到这个临界值时，圆形巷道就会失稳发生冲击地压。
圆形巷道冲击地压发生失稳的地应力扰动临界指标由式(21)或(24)决定，可见冲击倾向性指数、抗压强度、支护应力等决定了巷道冲击地压发生失稳的扰动量临界指标，而冲击倾向性指数、抗压强度、支护应力都是煤岩变形系统的控制量。同样，对于圆形巷道冲击地压发生失稳的塑性破坏区深度，响应量临界指标由式(20)或(22)决定，可见冲击倾向性指数、抗压强度、支护应力决定了巷道冲击地压发生失稳的响应量临界指标，而冲击倾向性指数、抗压强度、支护应力都是煤岩变形系统的控制量。所以根据扰动响应失稳理论，控制量决定了冲击地压发生的临界值。
6.2 现场确定方法
因为理论模型经过很多简化，和实际相比有一定的距离，所以现场实际煤岩体结构冲击地压失稳临界指标确定一般是根据理论公式确定一个初值，再根据实验室实验结果和现场大量发生冲击地压的案例进行修正。煤体钻屑量指标，就是通过这样的办法反复逼近得到的。表4为我国部分矿井通过此方法得到的钻屑量临界指标。
表4 我国部分矿井钻屑量临界指标
Table 4 Drilling cuttings method critical index of some mines in China
7 基于扰动响应失稳理论的冲击地压监测
7.1 针对扰动量的采动应力监测
采动应力的测量可以采用压力传感器、压力枕、应力计等测量仪器实现。为什么可以通过测量采动应力来监测冲击地压？怎样通过采动应力来反映冲击地压的危险程度？根据扰动响应失稳理论，采动应力属于扰动量，扰动量的大小反映煤岩体变形系统稳定性程度。将实际监测的采动应力与采动应力临界指标进行比较，就可以判断冲击地压的危险性。可以根据实测采动应力与采动应力临界指标的逼近程度，将冲击地压危险性分成几个等级。
7.2 针对响应量的钻屑法监测
钻屑法是向煤体钻小直径钻孔，通过监测钻孔过程中单位孔深排粉量来反映冲击危险的监测方法。为什么钻屑法能监测冲击地压？怎样通过钻屑量来反映冲击地压的危险程度？根据扰动响应失稳理论，钻屑量属于煤岩变形系统的响应量，响应量也反映了系统稳定性的状态。将实际监测的钻屑量与钻屑量临界指标进行比较，就可以判断冲击地压危险性。可以根据钻屑量实测值与钻屑量临界指标的逼近程度，将冲击地压危险性分成几个等级。
7.3 针对响应量的微震监测
煤岩体变形系统在地应力作用下，局部应力超过强度极限而发生破坏，破坏产生的能量以波的形式向外传播，被煤岩体中埋设的速度传感器等接收，这种方法称为冲击地压的微震监测方法。微震监测是一种区域预测方法。根据冲击地压扰动响应失稳理论，在地应力作用下产生的微震，属于煤岩变形系统响应量，反映了煤岩变形系统的稳定性状态，将微震监测值与临界指标进行比较，可以对煤岩体变形系统稳定性，即冲击地压危险性进行判断，同样可以根据监测值逼近临界指标程度将冲击危险分成几个等级。
8 基于扰动响应失稳理论的冲击地压防治
8.1 针对扰动量的防治
根据扰动响应失稳理论，合理开采布局、开采保护层、合理留设煤柱等方法都是针对扰动量地应力的防治方法。
合理开采布局的方式主要包括划分采区时保证合理的开采顺序、采面避免相向开采、推行无煤柱开采、禁止向采空区方向推进等。
开采保护层是选择无冲击或弱冲击危险煤层作为保护层优先开采，保护层内不留煤柱或留小煤柱，解放冲击危险的煤层，达到降低冲击地压潜在危险性的目的。
留设煤柱是煤矿采取的主要护巷方法，同时留设的煤柱正是应力集中的部位，易引起冲击地压。因此，煤柱留设位置、煤柱留设宽度及煤柱形状等对冲击地压防治和巷道稳定性起着至关重要的作用。
通过合理开采布局、开采保护层和合理留设煤柱，降低削减或隔断扰动量P的大小，所以针对扰动量的防治是冲击地压的防治方法之一。实际上，断顶、切顶、顶板爆破等方法都是针对扰动量P的防治方法。
上述方法防治冲击地压的效果还要通过监测采取防治措施后的扰动量或响应量，将其和相应临界指标比较来确定。若监测值小于临界值，则防治有效，若监测值仍大于临界值，则防治没有达到预期效果，仍需继续实施防治措施。
8.2 针对控制量的防治
8.2.1 煤层钻孔、注水和爆破
煤层钻孔是在煤层中打钻孔、排煤粉，通过合理布置钻孔长度、钻孔间距，使钻孔周围形成塑性破坏区并连通，改变煤体物理力学性质，消除或缓解冲击地压危险的冲击地压防治方法。
煤层注水是在工作面或巷道中通过向煤体中注入压力水，改变其物理力学性质的一种冲击地压防治方法。
煤层爆破是对已形成冲击地压危险的煤体，用爆破方法改变煤体物理力学性质的冲击地压防治方法。
根据冲击地压扰动响应失稳理论，实施煤层钻孔、煤层注水、煤层爆破方法改变了煤岩变形系统的控制量冲击倾向性指数K和抗压强度σc。
假设在煤层中打半径为ah的钻孔，钻孔深度为L。由于应力集中，孔口周围半径为ρ的范围内应力超过煤的抗压强度而产生破坏，相当于破坏了原来ρ×L范围的煤体。若以间距近似为ρ布置钻孔，则钻孔破坏将连通成片，进而降低了整个煤层的冲击倾向性指数K。根据式(24)，冲击倾向性指数K越大，发生冲击地压的临界应力Pcr越小，越容易发生冲击地压。反之，冲击倾向性指数K越小，发生冲击地压的临界应力Pcr越大，越不容易发生冲击地压。因此，煤层钻孔连片破坏后，降低了煤层的平均冲击倾向性指数K，使煤体发生冲击地压的临界应力增加，从而防治了冲击地压。
假设在煤层中打半径为rw的钻孔进行注水，注水孔深度为L，经过一定时间的注水后，注水半径达到R。R×L范围的煤层被水湿润，若钻孔布置间距和注水半径相当，则整个煤层都会被湿润。冲击倾向性指数K与含水率关系如图5所示，从图5可以看出，煤样冲击倾向性指数K均随含水率w的增加线性减小，其拟合关系为
K=Aw+B (A<0,B>0)
(25)
不同矿井的拟合系数见表5。可见，煤层注水可以降低煤层冲击倾向性指数K。注水后整个煤层的冲击倾向性指数K降低，根据式(24)，发生冲击地压的临界应力增加，从而防治了冲击地压。
表5 冲击倾向性指数K与含水率w拟合系数
Table 5 Fitting coefficient of rockburst tendency index K and moisture content w
采用上述方法后，也应通过监测扰动量或响应量来进行效果检验。
图5 冲击倾向性指数K与含水率w关系
Fig.5 Relationship of rockburst tendency index K and moisture content w
8.2.2 加强支护
支护应力属于煤岩变形系统的控制量，根据扰动响应失稳理论，加强支护，提高支护应力，则提高了冲击地压发生的临界应力。表6给出了几种临界应力相关参数的选择。表7给出了其他参数不变，当支护应力产生增量后，6种情况所对应的临界应力。对表7的数据进行分析可知，支护应力每增加0.25 MPa，临界应力增加量平均值为0.97 MPa，最大临界应力增量为1.29 MPa，最小临界应力增量为0.87 MPa，可近似认为当支护应力增量不大于1 MPa时，支护应力每增加0.25 MPa，临界应力增加1 MPa。对表6数据进行分析还发现随着支护应力增量的增大，临界应力增加的速率不断增加。以上结果进一步表明了加强支护对防治冲击地压的有效性。
9 结 论
(1)将冲击地压的发生简化为3组物理量，即控制量、扰动量和响应量影响下的煤岩变形系统的稳定性问题，提出了冲击地压扰动响应失稳发生机理和判别准则。
(2)得到了圆形巷道冲击地压的扰动响应失稳理论的解析解。
表6 临界应力相关参数选择
Table 6 Selection of parameters related to critical stress
表7 不同支护应力下的临界应力
Table 7 Critical stress under different supporting Stress MPa
(3)煤岩变形系统扰动量、响应量分别存在临界指标，达到临界指标冲击地压发生，临界指标由煤岩变形系统控制量决定，给出了冲击地压失稳临界指标确定的一般方法。
(4)采动应力等监测方法都是针对煤岩变形系统扰动量的监测，钻屑法、微震法等是针对响应量的监测方法。将实际监测的采动应力、钻屑量、微震值与临界指标比较，可以判断冲击地压的危险性。根据监测值和临界指标的逼近程度，可将冲击地压危险性分成几个等级。
(5)合理开采布局、开采保护层、合理留设煤柱、断顶等是针对扰动量的防治方法，煤层钻孔、煤层注水、煤层爆破、加强支护等是针对控制量的防治。通过监测采取防治措施后煤岩变形系统的扰动量或响应量的大小，并与临界指标进行比较，可对防治效果进行检验。
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