长期以来，硐室围岩的弹塑性理论研究局限于开挖后，开挖后的围岩初始应力因破坏而重新分布[1-3]，大量学者对此进行了研究，如早期的FENNER和KASTNER把围岩看成理想的弹塑性介质得到了经典的Fenner公式和Kastner塑性区半径解;付国彬[4]基于Mohr-Coulomb准则，考虑围岩软化、扩容特性得到了围岩弹性塑性解答;彭瑞[5]、张小波[6]等基于D-P准则考虑了中间主应力、剪胀等特性，对巷道围岩进行弹塑性分析。另外有一部分学者研究了围岩在支护结构作用下的弹塑性解，如王明斌和李术才[7]考虑地应力释放，得到了单层衬砌下围岩应力解答;文竞舟等[8]研究了围岩与锚杆作用机理，得到了围岩的变形、应力解。然而，近些年来随着硐室埋深和地应力越来越大，软岩硐室需要开挖一段支护一段，抑制围岩位移发展[9]，所以，有必要发展硐室开挖-支护过程中的弹塑性理论。
笔者认为硐室开挖-支护过程中的弹塑性理论有必要考虑空间效应，虽然硐室从开挖到支护过程需要一定时间，但开挖面的空间效应使得围岩在这段时间内具有一定自承能力，文献[10]将这种自承能力称为虚拟支护阻力，已开挖部分围岩变形得不到充分释放，随着开挖面的远去，某一断面的变形尚未释放完成就对该断面施加锚杆、衬砌等支护。一些学者在探究开挖与支护结构作用的弹塑性理论时亦考虑了空间效应，如赵光明等[11]考虑围岩空间效应将破裂区分为锚网区和非锚网区，得到了围岩弹塑性解，并在工程实践中得到应用;王华宁等[12]考虑硐室开挖的虚拟支护阻力，介绍了隧洞纵向开挖与双层衬砌过程，给出不同时机下围岩弹塑性解答;然而锚杆锚固端一般作用于软化区，文献[11-12]仅分析了锚杆在残余区时围岩的弹塑性解，因残余区的围岩参数相对于软化区较稳定，所以，将支护作用下的围岩弹塑性理论简单化，存在不足。
笔者在前人研究的基础上，将支护作用下的围岩分成4个区,即弹性区、非锚固软化区、锚固软化区及锚固残余区，将支护时的锚杆锚固端作用于软化区;然后，基于Mohr-Coulomb准则，考虑围岩扩容、剪胀、软化等特性和开挖-支护过程中产生的空间、锚固效应，分析围岩在此过程中应力、位移理论解。
1 硐室围岩力学模型
建立锚杆支护下的硐室力学模型如图1所示，给出以下条件:① 近似地认为硐室为无限长，岩体为各向同性、均质的连续介质;② 取硐室断面为圆形，半径为r0，残余区半径为Rb，塑性区半径为Rp,锚杆有效锚固长度为l0，f1为锚杆环向间距，锚杆与围岩之间不产生滑移;③ 围岩原岩应力为p0，硐室支护体提供均匀的支护阻力为pi。
图1 锚固效应下围岩力学模型
Fig.1 Mechanical model of surrounding rock under anchorage mechanical effect
σθ，σr分别为硐室围岩的切向、径向应力，满足σθ>σr。εθ，εr分别为围岩的切向、径向应变。下文中上角标“e”,“p”,“pm”,“b”分别表示弹性区、非锚固软化区、锚固软化区及锚固残余区的量。
1.1 初始支护承载力
硐室掘进过程中，空间效应引起的虚拟支护阻力表达式为
(1)
其中，v为硐室平均掘进速度;t为巷道断面开挖瞬间的起始时间。则初始支护承载力pc为
pc=pi+p1
(2)
1.2 锚杆力学分析
施加锚杆是为了给围岩提供一定的锚固力，降低软化模量和岩体扩容系数，提高黏聚力c和内摩擦角φ[13-14]。在预紧力不大的情况下，锚杆提供的黏聚力为
(3)
式中，σs为锚杆的屈服强度;ds为锚杆直径;f2为锚杆排距;α为锚固体最大主应力方向与主破裂面方向的夹角，α=45°-φ/2。
假设锚杆与围岩之间没有相对位移，则锚杆径向体积力可表示为
(4)
式中，A1为锚杆断面面积;l0为锚杆有效长度。
则围岩平衡微分方程为
非锚固区
dσr/dr+(σr-σθ)/r=0
(5)
锚固区
dσr/dr+(σr-σθ)/r+f(r)=0
(6)
几何方程
(7)
式中，u为围岩径向位移。
2 岩体特性模型
2.1 考虑围岩扩容模型
根据岩体扩容的非关联流动法则[15-17]，在非锚固软化区、锚固软化区和锚固残余区有
(8)
式中，
分别为非锚固软化区径向、切向应变增量;h1为非锚固软化区扩容系数，h1=(1+sin ψ)/(1-sin ψ),ψ为剪胀角。
(9)
式中，
分别为锚固软化区径向、切向应变增量;h2为锚固软化区扩容系数，h2一般取1.3～1.5。
(10)
式中,
分别为锚固残余区径向、切向应变增量;h3为锚固残余区扩容系数，1≤h3≤h2。
2.2 围岩软化和残余模型
围岩峰后软化过程中，c和φ均会下降到残余值，而锚杆支护减小了围岩参数的降低量，围岩强度得到一定程度的提高，对于文献[18]认为各区φ变化不大，添加支护后各区φ变化则更小，即本文将各区φ视为不变，所以，只考虑c的变化，软化模型如图2所示。
图2 强度参数软化模型
Fig.2 Softening model of strength parameters
围岩各区服从莫尔-库仑准则，有
(11)
式中,k=(1+sin φ)/(1-sin φ);σc为岩体单轴抗压强度;
取决于非锚固软化区的黏聚力
取决于锚固软化区的黏聚力
分别为为弹性区和锚固残余区的黏聚力，cp′为软化区锚固端的黏聚力;
为围岩锚固残余区抗压强度;m1，m2分别为非锚固软化区、锚固软化区黏聚力软化模量。
3 围岩应力和位移
3.1 弹性区
弹性区围岩应力可以表示为
(12)
不考虑空间效应时，弹性区径向位移为
(13)
式中，A=(1+μ)(p0sin φ+ccos φ)/E,其中，μ，E分别为岩体泊松比、弹性模量。
根据文献[19]中式(1)，可得考虑空间效应时，弹性区的径向位移为
(14)
式中，
为开挖面到计算面的距离。
3.2 非锚固软化区
该区内应变表达式为
(15)
由式(15)，(8)和式(7)可得该区位移协调方程，并由边界条件r=Rp处的位移连续可得
(16)
由式(11)中第2式和式(5)联立，并根据边界条件r=Rp处的弹性区和非锚固软化区径向应力相等可得
(18)
式中，
3.3 锚固软化区
锚固软化区应变表达式为
(19)
联立式(19)，(9)和式(7)，并由边界条件r=l0+r0处的位移连续可得
(20)
联立式(11)中第3式和式(5)，且由边界条件r=l0+r0处的非锚固软化区和锚固软化区径向应力相等可得
(22)
式中，
为锚杆作用下围岩增加的强度。
3.4 锚固残余区
锚固残余区应变表达式为
(23)
联立式(23)，(10)和式(2)，并由边界条件r=Rb处的位移连续可得
(24)
式中,
联立式(11)中第4式和式(5)，且由边界条件r=Rb处的锚固软化区和锚固残余区径向应力相等可得
(26)
式中，
为未施加锚杆支护时的围岩残余区抗压强度。
3.5 塑性软化区和残余区半径
当围岩处于破裂状态时，有
则有
(27)
(28)
联立式(27)和(28)，可解Rp和Rb。
4 实例分析
根据文献[20]，某隧洞半径为r0=3 m，所受原岩应力p0=21.8 MPa。岩石基本参数如下:弹性模量E=1 400 MPa,泊松比μ=0.32，初始黏聚力c0=3.2 MPa,残余黏聚力c*1=0.23 MPa，内摩擦角φ=30°，黏聚力软化模量m1=600 MPa,剪胀角ψ=10°(h1=1.42，h2=1.3，h3=1.2)。设锚杆屈服强度σs=345 MPa，直径ds=24 mm,有效长度l0=2.0 m，间排距 f1=f2=1.2 m，由于锚杆加固作用，残余区黏聚力升至c*′=0.52 MPa。
4.1 空间效应和锚固效应对隧洞围岩应力、位移的影响
锚固、空间效应对围岩应力的影响如图3所示，围岩径向应力随着半径的增大而增大，切向应力在塑性区和弹性区边界达到最大值。在仅考虑软化、扩容作用下，围岩塑性区半径为7.90 m，塑性区范围较大，需要支护来缩小塑性区范围。施加锚杆后，计算得到Rp=5.81 m，可见，考虑锚固效应能够有效地减小塑性区范围，而考虑空间效应能够保证塑性区范围的准确性。当开挖速度v一定时，将仅考虑锚固效应(空间效应x值趋向于
)与考虑锚固、空间效应下x=2,3,4 m围岩应力、塑性区范围进行对比发现，当x值越小，径向和切向应力小幅增大且塑性区范围小幅减小，所以，对于控制塑性区范围，锚固效应的效果较空间效应好。
图3 空间、锚固效应对围岩应力的影响
Fig.3 Spatial effect and anchorage mechanical effect to stress of surrounding rock
由图4可见，围岩位移随着径向半径的增大而减小且在隧洞周边有最大值。对隧洞施加锚杆后，隧洞周边位移减小51.1%，有效地控制了隧洞周边位移。考虑锚固、空间效应时，x值越小，围岩位移越小，当x=10和15 m时，隧洞周边位移是不考虑空间效应时的92.7%和98.2%，说明当x值大于10 m时，空间效应控制围岩位移的作用不大，而当x=4,3,2 m时，x值每减少1 m，隧洞周边位移减小10%以上，另外，假定开挖持续时间t不变，开挖速度v越大，围岩自承能力越强，所以，当x较小且v较大时，考虑空间效应可以有效减小围岩位移。
图4 空间、锚固效应对围岩位移的影响
Fig.4 Spatial effect and anchorage mechanical effect to displacement of surrounding rock
4.2 围岩特性和支护阻力对隧洞周边位移的影响
由图5(a)可知，剪胀角ψ与隧洞周边位移u呈正相关性。当0≤ψ≤15°时，ψ每增加5°，u最大增加3.15%，当20°≤ψ≤30°时，ψ每增加5°，u最大增加5.96%，说明剪胀角越大，位移增长越快。仅考虑h2或h3变化的情况下，当ψ在0°～30°时，u在h3下的位移较h2大，而增幅均在21%～23%，u受h2和h3影响程度相当。说明锚杆端头伸进软化区内，抑制了锚杆所在区域围岩位移的扩大，使得u受h3的影响程度并不是非常明显。
图5 剪胀角、支护阻力和黏聚力对隧洞周边位移的影响
Fig.5 Effect of dilatancy angle,support pressure and cohesion on surrounding displacement of tunnel
支护阻力通常是型钢支架和混凝土衬砌等支护结构在被动受压下提供的支护力。从图5(b)不难看出， u与支护阻力pi呈负相关，m1每减少100 MPa，u的减少幅度越来越小，如当pi=0.2 MPa、m1从600 MPa到500 MPa时，u减少22.52%，而pi=0.2 MPa、m1从100 MPa减小到50 MPa时，u仅减少3.50%，所以，m1≥400 MPa时，对隧洞施加支护控制围岩位移明显，而当m1≤100 MPa时，围岩位移变化不大，说明了m1越小，围岩自承能力越高，抑制了围岩位移发展。
由图5(c)可知，当锚杆设计长度为1.0～3.5 m时，锚杆长度越长，u越小，u与c0近乎线性相关。c0从1.7 MPa增长到4.2 MPa过程中,有效长度l0=1.0 到3.5 m的锚杆使得u减小幅度逐渐减小，而当c0=1.7 MPa时，有效长度l0=1.0到3.5 m的锚杆使得 u降低了125.08 mm，而c0=4.2 MPa，u只降低了66.25 mm，上述说明了当围岩强度较低时，锚杆的支护效果明显，根据硐室周边位移为支护结构提供较为准确的围岩预留变形量预测。
5 结 论
(1)建立锚杆锚固端位于软化区的圆形硐室围岩力学模型，将围岩分成弹性区、非锚固软化区、锚固软化区及锚固残余区，考虑围岩扩容、剪胀等特性以及硐室开挖-支护过程中的空间、锚固效应，得到了圆形硐室应力、变形解析表达式。
(2)通过算例分析，锚固效应可有效减小塑性区范围，考虑空间效应可缩小隧洞周边位移且x值越小，空间效应越明显，当x≥10 m时，空间效应基本失效;由于锚杆端头位于软化区，使得u受h3的影响程度不比h2明显;当m1≥400 MPa时，建议对硐室施加锚杆支护，而当m1≤100 MPa时，可不施加锚杆;根据不同长度锚杆支护下的硐室周边位移为支护结构预测合适的围岩预留变形量。上述成果为工程实践中硐室围岩开挖与支护提供了一定的理论基础。
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