在软岩巷道(隧道)围岩变形分区及应力分布规律的研究中，一个问题长期存在且难以解决，它不仅导致塑性软化区应力分布规律的解析分析无理想结果，也使得围岩变形分区范围的理论研究难以进行。这一问题就是巷道(隧道)塑性软化区岩石的内摩擦角与黏聚力的变化规律始终无普遍认同的解答。
针对上述问题，近30年来的研究成果显示有2种十分迥异的观点同时存在。第1种观点的主要代表人物是郑颖人院士、于学馥教授和董方庭教授，这一观点认为岩石发生强度破坏后，内摩擦角的变化不大、黏聚力大幅降低[1-4]。第2种观点主要出现在近十年的研究文献中，这些文献[5-7]认为内摩擦角和黏聚力与岩石强度的变化密切相关，认为二者与岩石强度应具有一致的变化规律，即认为塑性软化区与破碎区岩石的内摩擦角与黏聚力随岩石强度的降低而降低。
由于2种观点同时存在且均未发现相关的理论支持和试验支撑，故难以判明何种观点对应的结果更符合实际。
基于上述状况，此处依据国内外学术期刊和硕博论文[8-21]中公开的岩石强度试验数据对多种岩石峰后阶段的内摩擦角和黏聚力进行分析，目的在于获取一个符合实际的围岩塑性软化阶段岩石内摩擦角和黏聚力的变化规律，为相关的理论研究提供可靠依据。
1 不同围压下的三轴压缩试验分析
为了研究结果的真实性与可靠性，下面给出的18组三轴试验结果均来自多年来公开发表的文献，列举这18组原始试验的目的主要在于获取每组试验对应的峰残内摩擦角和峰残黏聚力并进行相互间的差异性分析。
1.1 原始数据(全应力-应变关系曲线)
18组试验结果原始数据如图1所示。
1.2 塑性软化区内摩擦角与黏聚力确定
1.2.1 岩石峰、残内摩擦角
岩石峰、残内摩擦角是指与全应力-应变曲线中与峰值强度对应的岩石内摩擦角和与残余强度对应的岩石内摩擦角。求解内摩擦角与黏聚力首先需依据不同围压下的岩石全应力-应变曲线的峰值强度和残余强度绘制出图2所示的两条拟合直线。
图1 18组全应力-应变原始曲线
Fig.1 18 groups of original complete stress-strain curves
依据文献[1]，在σ1-σ3坐标平面内摩尔-库仑准则可以用式(1)表示，即
(1)
式中，第1式是与全应力-应变曲线中的峰值强度相对应的摩尔-库仑准则;第2式是与全应力-应变曲线中的残余强度相对应的摩尔-库仑准则;σc为峰值单轴抗压强度，MPa;σw为残余单轴抗压强度，MPa;θc为与全应力-应变曲线中的峰值强度相对应的岩石破断角，度;θw为与全应力-应变曲线中的残余强度相对应的岩石破断角，(°)。
由于“摩尔-库仑”强度准则也可以表示为
(2)
对比式(1)和(2)可知存在下列关系。
(3)
式中，φc,φw分别为对应于峰值强度和残余强度的内摩擦角，(°)。Cc,Cw分别为对应于峰值强度和残余强度的黏聚力，MPa。
图2 峰、残内摩擦角求解示意
Fig.2 Solution diagram of rock peak and residual internal friction angle
图2表明tan2θc和tan2θw分别是峰值强度拟合直线和残余强度拟合直线的斜率，由于两斜率在两拟合直线绘制出来的同时即被获得，于是依据式(3)中的左两式即可求得φc，φw。
按照上述方法，以图1中的18组全应力-应变曲线为原始数据，即可求得图1中18种岩石的峰值强度对应的内摩擦角和残余强度对应的内摩擦角(表1)。
表1 18种岩石峰、残内摩擦角与黏聚力
Table 1 Relevant parameter list of peak and residual internal friction angle & cohesion in eighteen rocks
1.2.2 岩石峰、残黏聚力
岩石峰、残黏聚力是指与全应力-应变曲线中与峰值强度对应的岩石黏聚力和与残余强度对应的岩石黏聚力。
首先依据图2用图解法求得σc,σw，并结合式(3)中左两式求得φc和φw，然后依据式(3)中的右两式求得黏聚力Cc和Cw。
按照上述方法，以图1中的18组全应力-应变曲线为原始数据，即可求得图1中18种岩石的峰、残黏聚力(表1)。
1.3 数据分析
(1)表1中的18组试验结果表明，每组试验对应的峰、残内摩擦角之间的差值都很小，在-3.52°～+3.95°，而峰、残内摩擦角差值的平均值则更小，仅有0.973 833 3°。
(2)峰、残内摩擦角之间的差值有“+”有“-”，差值的大小与峰值单轴抗压强度之间无明显关联性。
(3)每组试验对应的峰、残黏聚力都具有明显的不同，每组试验的峰值强度对应的黏聚力均大于残余强度对应的黏聚力，且两者之间的差值随峰值单轴抗压强度的递增呈总体增大趋势。
1.4 试验结论
(1)试验结果有力地论证了郑颖人等的观点，即岩石峰后阶段内摩擦角变化很小，可近似作为常量处理。以此为基本出发点，巷道围岩塑性软化区域的应力、应变的计算中内摩擦角可近似作为常量处理，计算时可用对应于峰值强度的内摩擦角和对应于残余强度的内摩擦角的平均值代入计算。
(2)对应于岩石峰值强度的黏聚力和对应于残余强度的黏聚力差值较大，故尚需揭示其变化规律。
2 塑性软化阶段黏聚力变化规律
围岩塑性软化阶段黏聚力及其软化模量变化规律的确定需要奠基于一个特殊的关系，即围岩塑性软化阶段环向应力σ1与径向应力σ3之间的内在关系(不考虑中间主应力情况下)，下面首先对其进行研究。
2.1 塑性软化阶段环向应力与径向应力之间关系
以往的“2阶段围岩应变软化模型”(图3)、“3阶段围岩应变软化模型”(图4)和“4阶段围岩应变软化模型”(图5)的塑性软化阶段均具有一个为人们所接受的共同的属性，即主应力差(σ1-σ3)与最大主应变(环向应变)之间呈线性关系，下面即以此线性关系为基础研究塑性软化阶段环向应力与径向应力之间关系。
图3 2阶段围岩应变软化模型
Fig.3 2 strage strain softening model of surrounding rock
图4 3阶段围岩应变软化模型
Fig.4 3 strage strain softening model of surrounding rock
图5 4阶段围岩应变软化模型
Fig.5 4 strage strain softening model of surrounding rock
此处选择近年来应用较广泛的3阶段应变软化模型(图6中的OMQS模型)为研究对象来揭示塑性软化阶段的σ1和σ3之间的关系。
图6 σ1和σ3之间的关系分析
Fig.6 Relationship analysis diagram of σ1 and σ3
图6中的塑性软化阶段MQ的线性关系可表示为
σ1-σ3=kε1+A0
(4)
式中，k为直线MQ的斜率，MPa;ε1为环向应变;A为直线MQ在纵坐标轴上的截距，MPa。
图6为一个分析σ1和σ3关系的3阶段应变软化模型分析图，图中的纵坐标仅单纯地表示应力，不具体表示主应力差(σ1-σ3)、最大主应力σ1或最小主应力σ3。图中3阶段应变软化模型OMQS上各点的纵坐标均为巷道围岩上对应点的主应力差(σ1-σ3)，模型O′M′Q′S′上各点的纵坐标为上述主应力差(σ1-σ3)中的σ1，模型O″M″Q″S″上各点的纵坐标是上述主应力差(σ1-σ3)中的σ3，显然模型OMQS是模型O′M′Q′S′和模型O″M″Q″S″相互叠加的结果。
由于此处是以轴对称载荷作用下的圆形巷道为研究对象，故图中O′和O″对应的巷道径向无穷远处的岩石质点的环向应力和径向应力相等，在坐标平面内两点重合。
模型O′M′Q′S′是关于围岩塑性软化区径向上各点环向应力(σ1)与最大主应变(ε1)之间的关系曲线，此处针对模型中O′M′阶段和Q′S′阶段的线性关系不做具体讨论(与本文论题无关)，仅分析论证M′Q′阶段的线性关系。
M′Q′阶段的线性关系在没有得到论证之前，暂将该阶段的σ1-ε1关系假设为一般的曲线关系，并用式(5)表示，对应于图6中的曲线M′Q′。
σ1=k′(ε1)m+E0
(5)
式中，m为环向应变(ε1)的幂指数;k′为(ε1)m的系数，MPa;E0为曲线M′Q′在纵坐标轴上的截距，MPa。
模型O″M″Q″S″是关于围岩塑性软化区径向上各点径向应力(σ3)与最大主应变(ε1)之间的关系曲线，同理，此处针对模型中O″M″阶段和Q″S″阶段的线性关系不做具体讨论(与本文论题无关)，仅分析论证M″Q″阶段的线性关系。
按照前述同样的道理，此处暂将该阶段的σ3-ε1关系用下式表示，对应图6中的曲线M″Q″。
σ3=k″(ε1)n+F0
(6)
式中，n为环向应变(ε1)的幂指数;k″为(ε1)n的系数，MPa;F0是曲线②在纵坐标轴上的截距，MPa。
式(5)减去式(6)并整理后可得
σ1-σ3=[k′(ε1)m-k″(ε1)n]+(E0-F0)
(7)
显然，式(7)应该对应于图6中的直线MQ。由于式(4)也与图6中的直线MQ相对应，故式(4)和(7)应一致，对比两式即可得到
(8)
显然，式(8)中的第2式容易满足，但第1式需要符合一定条件才能满足，下面就来寻找这一条件。
对式(8)中的第1式进行进一步的整理可以得到式(9)所示的关于ε1的方程式:
[k′(ε1)m-1-k″(ε1)n-1]=k
(9)
式中,k，k′，k″，m和n均为常数，而ε1为变量，显然上式成立的唯一条件是m，n必须满足下式所具备的条件:
m=n=1
(10)
将上述结果代入式(5)和(6)可得
(11)
即，塑性软化阶段环向应力(σ1)与最大主应变(ε1)之间、径向应力(σ1)与最大主应变(ε1)之间均为线性关系，即图6中直线段M′Q′,M″Q″所显示的直线关系。
对式(11)进行整理并消去ε1后可得
(12)
因k′，k″，E0和F0，均为常量，故σ1与σ3之间呈线性关系，该线性关系在σ1-σ3坐标平面内可用图7所示的直线段M′ Q′表示。
图7 塑性软化区黏聚力分析
Fig.7 Analysis diagram of the rock cohesion in Plastic softening zone
2.2 塑性软化阶段围岩黏聚力变化规律
既然试验已经表明塑性软化阶段岩石的内摩擦角近似不变，于是依据式(1)可以推知图7中的直线①(对应于不同围压峰值强度的σ1-σ3拟合关系直线)和直线②(对应于不同围压残余强度的σ1-σ3拟合关系直线)之间呈近似平行关系。依据这一平行关系，此处不难明确直线①和②之间还存在无数条与直线①和②相互平行的拟合直线，每条拟合直线对应着一个特定的黏聚力，且每条拟合直线上都有一个特定点，该点与围岩径向上的某一点具有一一对应关系，这些点的连线就构成了围岩塑性软化区域围岩径向上σ1与σ3之间的关系直线，即图7中的M′Q′直线。
在直线M′Q′上任取一点J′，并过J′点做一直线③平行于直线①和②,显然J′点也必然与围岩径向上的某一点(图8中的J点)呈一一对应关系，相对应的黏聚力可以依据J′点与直线M′Q′和直线③之间的关系确定，具体确定方法如下。
图8 围岩变形分区示意
Fig.8 Deformation zoning map of surrounding rock
由于图7中的J′点位于M′Q′直线上，故其满足式(13)的要求，即下式成立。
(13)
因式(12)源于式(11)，故J′点同样满足式(11)，于是又可得到式(14)。
(14)
由于J′点同时也是直线③ 上的点，比照式(2)还可以推知式(15)成立。
(15)
将式(14)代入式(15)并经整理后可得
(16)
式中，(ε1)J′，CJ′分别为与图7中J′点相对应的环向应变与黏聚力。
由于J′点同时也是M′Q′直线上的点，而对于该直线而言，CJ′与(ε1)J′均是变量，显然由式(16)可知沿围岩塑性软化区域径向的CJ′与(ε1)J′之间呈线性关系。于是塑性软化阶段黏聚力与环向应变之间的关系可用图9中的线段MQ表示，该直线与图8中的MQ、图6中的M′Q′均具有一一对应关系。
图9 围岩黏聚力软化模型
Fig.9 Viscosity softening model of surrounding rock
图7中的直线③上的J′点与图6，8和9中的J点属相互对应点，图7中的J′点的横纵坐标值对应于图8中的J点的径向应力与环向应力值，J′点对应的应变则是图8中J点的环向应变。
3 黏聚力软化模量的变化规律
黏聚力的软化模量是围岩变形分区研究中非常重要的物理量，它的变化规律直接关系到分区应力分布规律及分区边界位置的解析确定，故此处对其进行专门分析。
因围岩塑性软化阶段黏聚力软化模量的物理意义是指图9中直线MQ的斜率，而式(16)已经表明塑性软化阶段的黏聚力与环向应变之间的关系是线性关系，于是可推知该处的黏聚力软化模量就是式(16)中(ε1)J′前面的系数，如式(17)所示。
(17)
式中，k1为塑性软化阶段环向应力与环向应变关系直线的斜率;k2为塑性软化阶段径向应力与环向应变之间关系直线的斜率。对于既定巷道，因这两个斜率只与地应力与围岩性质相关，故围岩塑性软化区域岩石的黏聚力软化模量是一常量。这一研究结果对围岩变形分区研究领域中的各项研究内容的解析分析均具有重大意义。
4 结 论
(1)通过公开文献中的三轴试验揭示了岩石巷道塑性软化区内岩石内摩擦角的基本不变的性质，有力地论证了郑颖人等的观点，同时纠正了所谓的“塑性软化阶段岩石内摩擦角与强度按照一致规律变化”的观点。
(2)揭示了围岩塑性软化区域中径向各点环向应力与径向应力之间的线性关系，为围岩变形分区的研究提供参考。
(3)研究论证了围岩塑性软化阶段黏聚力与环向应变之间的线性关系，为长期以来一直以直接假设形式出现的“这一线性关系”提供了理论支撑。
(4)揭示了塑性软化阶段岩石黏聚力软化模量的常量性质，为围岩变形分区研究中塑性软化区域应力分布规律的解析分析和各分区边界位置的确定提供参考。
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