移动阅读谢生荣，陈冬冬，曾俊超，郜明明，张 涛，刘 峻
(中国矿业大学(北京) 资源与安全工程学院，北京 100083)
摘 要:建立考虑两侧煤柱支撑与实体煤作为弹性基础的基本顶板初次断裂力学模型，采用差分算法及主弯矩破断准则计算研究得到如下结论。① 基本顶初始断裂位置为偏较弱煤柱侧悬顶区中部下表面(弹性基础系数k较小，基本顶厚度h、弹模E较大时)，反之为偏较弱煤柱侧的长边实体煤区上表面;② 两侧煤柱的宽度L1，L2及支撑系数km1，km2改变时，基本顶中部区与实体煤区的主弯矩及位置几乎不改变，而两侧煤柱区的主弯矩及位置变化显著;③ E，h大，而L1，km1，L2，km2小时，基本顶在两侧煤柱区不断裂，破断顺序为:偏较弱煤柱侧的悬顶区中部下表面→偏较弱煤柱侧长边实体煤区上表面，断裂特征为非对称“=-X”型;反之基本顶在煤柱区会断裂，破断顺序为:偏较弱煤柱侧长边实体煤区上表面→偏较弱煤柱侧悬顶区中部下表面→较强煤柱区上表面→较弱煤柱区上表面，断裂特征为非对称“O-X”型;而L1，km1较小，L2，km2较大时，只较弱煤柱侧基本顶不破断，最终断裂形态为非对称“U-X”型;④ 比值k/E或k/(Eh3)不变(k，E，h改变时，km1及km2与k保持某个任意比值不变)，基本顶破断规律不变。
关键词:两侧煤柱;弹性基础;基本顶;两侧采空;板结构
中图分类号:TD325
文献标志码:A
文章编号:0253-9993(2019)01-0115-12
移动阅读谢生荣，陈冬冬，曾俊超，等.考虑两侧煤柱与弹性煤体基础的基本顶板初次破断特征[J].煤炭学报,2019,44(1):115-126.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.0823
XIE Shengrong，CHEN Dongdong，ZENG Junchao，et al.First fracturing characteristics of main roof plate structure considering coal pillars and elastic coal foundation on both sides of stope[J].Journal of China Coal Society,2019,44(1):115-126.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.0823
收稿日期:2018
0624
修回日期:20181207
责任编辑:常 琛
基金项目:国家自然科学基金青年科学基金资助项目(51504259)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2010QZ06)；中国矿业大学(北京)“越崎青年学者”资助计划项目
作者简介:谢生荣(1981—)，男，江苏南京人，副教授，博士。E-mail:xsrxcq@163.com
通讯作者:陈冬冬(1988—)，男，安徽宿州人，博士后。 E-mail:chendongbcg@163.com
XIE Shengrong，CHEN Dongdong，ZENG Junchao，GAO Mingming，ZHANG Tao，LIU Jun
(College of Resources and Safety Engineering,China University of Mining and Technology (Beijing),Beijing 100083,China)
Abstract:The mechanical model of first fracturing of main roof considering the support of coal pillars and solid coal as elastic foundation on both sides of stope is established.Using the differential algorithm and the fracture criterion of primary moment,it is found that ① when the elastic foundation coefficient k is smaller as well as the thickness of main roof h and the elastic modulus E is larger, the initial fracture position of main roof is the lower surface of central region of hanging roof area on weaker coal pillar side.On the contrary,the position is the upper surface of long side area ahead of solid coal on weaker coal pillar side.② When the support coefficients km1,km2 and the widths L1,L2 of coal pillars on the two sides of stope change,the primary moments and their positions ahead of coal wall in the central area of main roof and solid coal area are almost unchanged.However,the values and the positions of primary moments of main roof in coal pillars area on the two sides of stope change significantly.③ When the thickness h and elastic modulus E of main roof are larger and the values of L1,km1,L2 and km2 are smaller,the main roof in coal pillars area on the two sides of stope will not fracture.So the fracturing order of the roof is that the lower surface of central region of hanging roof area on weaker coal pillar side → the upper surface of long-side solid coal area on weaker coal pillar side,and the final fracture form is the type of asymmetric “=-X”.On the contrary,the main roof in coal pillars area on the two sides of stope will fracture.Thus the fracturing order is that the upper surface of long-side solid coal area on weaker coal pillar side → the lower surface of central region of hanging roof area on weaker coal pillar side → the upper surface of coal pillar area on stronger coal pillar side → the upper surface of coal pillar area on weaker coal pillar side,and the final fracture form is the type of asymmetric “O-X”.However,when L1,km1 are smaller and L2,km2 are larger,only on weaker coal pillar side,the main roof will not fracture,and the final fracture form is the type of asymmetric “U-X”.④ When k,E and h change as well as km1 and km2 keep a certain arbitrary ratio constant with k,the ratio k/E or k/(Eh3) is unchangeable and the fracture law of main roof is invariant.
Key words:coal pillar on both sides of stope;elastic foundation;main roof;on both sides of gob;plate structure
研究采场基本顶的破断规律，是顶板安全控制的关键[1-3]。基本顶在直接顶上覆，无法直接观察到破断特征，所以理论研究尤为重要。只有明晰基本顶的破断位置、形态等才能更准确的指导采场覆岩控制。
文献[4-7]基于固支及简支薄板模型研究了首采面及一侧采空条件下基本顶破断步距、破断规律等。文献[5-9]研究了考虑实体煤区可变形条件下的弹性基础边界首采面或一侧采空(煤柱)基本顶薄板破断规律。针对两侧采空的实际采矿工程问题，文献[5-6,10-15]建立了两采空侧为简支边、两实体煤侧为固支边的薄板力学模型研究覆岩板结构破断及矿压规律。
由上述分析可知，对于两侧采空(煤柱)的实际采矿问题，传统观点多把煤柱简化为简支边，两实体煤均简化为固支边，该假设可能与实际有较大差距。一是因为软弱实体煤对基本顶的支承力弱，数值上不能满足固支边界条件要求;二是因为两侧煤柱宽度对其承载变形能力有较大影响;当两侧煤柱宽度不等时，受其支撑的基本顶会表现出非对称性受力特征，而传统模型均无法研究这些实际问题。
由此可见，传统的两侧采空基本顶板结构模型有明显缺陷，且目前关于两侧采空(煤柱)基本顶板结构的破断位置、顺序、影响因素及条件尚未清晰。本文将支承基本顶的实体煤或煤柱视为弹性基础，考虑了两侧实体煤或煤柱的各自特性(包括两侧煤柱的各自宽度与支撑能力)，特别分析了两侧煤柱宽度不等时对基本顶板结构破断位置、破断顺序及破断形态的非对称性影响，对于从理论层面重新认识基本顶破断规律并更好指导实践具有重要价值。
1.1.1 传统模型边界条件存在问题
图1为两短边简支+两长边固支基本顶板结构的传统模型，ABCD为基本顶板，AB,AD方向分别为工作面倾斜方向和推进方向。AB边与CD边(两实体煤侧)被简化为固支边。基本顶在实体煤侧受其上覆与下伏岩层夹支，而下伏煤层刚度显著小于基本顶刚度时，基本顶在两侧实体煤区的固支边假设不能成立。
图1 两边简支+两边固支基本顶板结构模型(传统模型)
Fig.1 Plate structure model of main roof with simple support and clamped support on both sides of stope (traditional model)
1.1.2 改进角度
诸多文献依据煤层抗剪切能力弱等特点把煤层视为Winkle弹性地基模型[1,5-9]，即基本顶在实体煤区可变形;这样的边界条件假设才更符合实际，所以两侧采空时实体煤假设为弹性基础边界。
为了简化计算，传统模型把两短边采空侧的煤柱均简化为简支边，如图1所示的AD边与BC边。这种简化有如下两类不足:一是没有考虑两侧煤柱支撑能力对基本顶破断特征的影响;二是没有考虑两侧煤柱宽度不相等条件下基本顶的非对称受力及破断特征。所以，研究两侧煤柱条件下基本顶板符合实际的破断规律时，需要考虑两侧煤柱的各自宽度以及各自支撑能力。
为了弥补传统模型的不足，考虑两短边侧煤柱的各自宽度和支撑能力，且考虑两长边实体煤的可变形特性，建立如图2所示的长壁工作面两短边侧煤柱支撑+两实体煤侧弹性基础边界基本顶薄板结构力学模型。
图2 两侧煤柱+两侧弹性基础边界薄板力学模型
Fig.2 Mechanics model of thin plate with coal pillars and elastic foundation boundaries on both sides of stope
ABCD为煤层开采后的基本顶悬顶区域，称为S0，设边AB与AD的长度分别为2a与2b。ABCD的y轴正向与负向侧即矩形区A2B2AB与CDC2D2为实体煤，一般来说煤层刚度较小，下伏煤层是约束夹支区基本顶下沉的关键因素，设此区域煤层弹性基础系数为k。ABCD的左侧与右侧区分别为煤柱1区(矩形区A1A2D1D2，称为S1)与煤柱2区(矩形区B1B2C1C2，称为S2)。S1区煤柱支撑系数与宽度分别设为km1与L1;煤柱2区的支撑系数与宽度分别设为km2与L2。煤柱的支撑力相对于实体煤有一定弱化，设煤柱1与2区的弱化系数分别为η1与η2，则满足km1=η1k，其中0<η1<1;km2=η2k，其中0<η2<1，即如式(1)。煤柱的具体支撑系数值可参考文献[1]计算。
(1)
S0区域基本顶满足的挠度偏微分方程[16]为
(2)
式中，ω0(x,y)为基本顶在S0区域的挠度函数;D为基本顶刚度，量纲为L2MT-2;q为基本顶和上覆较软岩层的载荷之和[1]。
设ω1(x,y)为煤柱S1区基本顶挠度函数，那么煤柱S1区的基本顶满足的偏微分方程为
(3)
设ω2(x,y)为基本顶在煤柱S2区的挠度函数，那么煤柱S2区的基本顶满足的偏微分方程为
(4)
设ω(x,y)为实体煤S区基本顶挠度函数，那么实体煤S区的基本顶满足的偏微分方程为
(5)
(6)
式中，E为基本顶弹性模量，GPa;μ为泊松比;h为基本顶厚度，m。
2.2.1 外边界条件
(1)实体煤侧的外边界条件。
如图2所示，实体煤区的范围一般远大于开采悬顶区S0(初次破断前的区域)的长边，那么图2中距离开采区S0的(3～5)max{2a,2b}位置处受到开采扰动的影响必定十分微弱[1,7]，且本文通过计算也验证了该结论，同时可有效减小计算范围。即边A1B1与边C1D1的挠度及截面法向线转角为零，满足:
(7)
(2)两侧煤柱区的外边界条件。
一般条件下，本工作面的基本顶与邻侧采空区垮落的基本顶在煤柱侧存在铰接关系，所以图2中煤柱S1与煤柱S2的外边界A1D1边与B1C1边近似按照简支边界条件处理[1,9]。可见，此处并不是如图1中把两侧具有一定宽度的煤柱简化为没有宽度及压缩特性的两条简支边。结果如式(8)所示，即
(8)
2.2.2 两煤柱与实体煤及开采区交界边的连续条件
A1A与D2D边是实体煤与煤柱的分界边，满足微分方程式(4)及(6);B2B与C2C边是煤柱2与实体煤的分界边，满足微分方程(5)及(6);AD边是开采区与煤柱1的分界边，满足微分方程(3)及(4);BC边是煤柱2与开采区的分界边，满足方程(3)及(5)。各分界边均满足挠度、截面法向线转角、弯矩及剪力连续，表述其连续的方程如下式,即
A2A边
D2D边
AD边
AB边
CD边
BB2边
BC边
C2C边
(9)
上述偏微分方程(2)～(5)全面表述了两短边侧采空(煤柱)基本顶板结构各区域所满足的挠度偏微分方程，要解这个微分方程组，需要满足连续条件(9)及边界条件(7)与(8)，可见获得解析解的难度极大，这也是一直以来两短边侧采空(煤柱)+两侧弹性基础基本顶板结构模型没有得到持续深入研究的主要原因，但众所周知，精确解并不是解决采矿工程问题所追求的，所以可采用有限差分法[16-17]来研究和计算该模型。
采用有限差分法进行解算时，需要构造结点编号，以便于4类方程的表达和识别。如图3所示，Δx=Δy=d为结点间距，K0为其中的特征结点，结点需用纵横线交点并编号确定和区分。两侧采空(煤柱)基本顶板结构所满足的四类方程(2)～(5)均需基于图3结点布置编号进行差分化。
图3 差分结点布置编号
Fig.3 Layout number of differential node
S0开采悬顶区挠度偏微分方程(2)基于图3结点的差分方程为
2(ωβ+1，α+1+ωβ+1，α-1+ωβ-1，α+1+ωβ-1，α-1)-
8(ωβ+1，α+ωβ-1，α+ωβ，α+1+ωβ，α-1)+20ωβ,α-
(10)
煤柱S1区偏微分方程(3)基于图3结点编号的差分方程为
2(ωβ+1，α+1+ωβ+1，α-1+ωβ-1，α+1+ωβ-1，α-1)+
20ωβ,α-8(ωβ+1，α+ωβ-1，α+ωβ，α+1+ωβ，α-1)+
(11)
煤柱S2区偏微分方程(4)基于图3结点编号的差分方程为
2(ωβ+1，α+1+ωβ+1，α-1+ωβ-1，α+1+ωβ-1，α-1)+
20ωβ，α-8(ωβ+1，α+ωβ-1，α+ωβ，α+1+ωβ，α-1)+
(12)
实体煤S区偏微分方程(5)基于图3结点编号的差分方程为
2(ωβ+1,α+1+ωβ+1,α-1+ωβ-1,α+1+ωβ-1,α-1)+
ωβ+2,α+ωβ-1,α+ωβ,α+2+20ωβ,α=0(13)
(1)两侧实体煤区的外边界方程差分化
式(7)中A1B1与C1D1边基于特征结点K0的差分方程[16]为
(14)
(2)两侧煤柱区外边界条件方程的差分化
式(8)基于特征结点K0的差分方程[16]为
(15)
方程(10)～(13)是偏微分方程(2)～(5)对应的差分方程，该差分方程(多元方程)中最多包含13个挠度未知结点，各个方程中的未知数即为两短边侧采空(煤柱)时基本顶各区域结点的挠度，这些多元方程之间可以组建方程组，通过软件Matlab[18]求解该多元方程组即可获得基本顶各区域结点的挠度形式解，而内力分量可通过该挠度形式解来求得。
依据文献[1,7,9]知，可采用岩石类薄板结构所受的主弯矩(或主应力)与其弯矩极限(或抗拉强度)对比来判断其是否发生破断[1]。
如式(16)为主弯矩的差分式，其中(Mx)βα，(My)βα，(Mxy)βα为各结点的弯矩分量式。
(16)
(17)
对于式(16)中的各弯矩分量，需把各结点挠度代入式(17)求得。
根据上述计算法可知，要分析两侧采空(煤柱)+两侧弹性基础基本顶板结构主弯矩特征，需给出具体参数来计算说明。工作面长度(图2中的AB长度)及推进距离(图2中的AD长度)分别为120 m与40 m，基本顶弹性模量及厚度分别为29 GPa与6 m，实体煤的k值为2.3 GN/m3。煤柱参数分为2组:① 煤柱1的支撑系数km1及宽度L1分别为460 MN/m3及4.5 m;煤柱2的支撑系数km2及宽度L2分别为460 MN/m3与8 m;② 煤柱支撑系数km1=460 MN/m3，km2=460 MN/m3，煤柱宽度L1=7 m，L2=10 m，煤柱支撑系数可按照式(7)参照实体煤的参数k取值，具体的分析可依据文献[1]，计算结果如图4所示。
图4 两侧煤柱条件下基本顶板结构主弯矩云图特征
Fig.4 Nephogram characteristics of primary moments of plate structure of main roof with coal pillars on both sides of stope
根据图4分析可知两侧采空(煤柱)基本顶板结构主弯矩分布总体特征。S1煤柱区、S2煤柱区及实体煤S区基本顶的主弯矩M3均为负值，且这3个区域的主弯矩极值的绝对值是各自区域的数值最大主弯矩，实体煤区及两侧煤柱区的主弯矩M3均位于深入煤体位置。设长边实体煤侧深入煤体(距离为Lc)绝对值最大主弯矩为Mc，由于两侧煤柱宽度不等，基本顶受力不均衡，所以主弯矩极值Mc位于y轴的左侧而不在y轴上;煤柱1区与煤柱2区的绝对值最大主弯矩分别设为Mm1(深入煤柱距离为Lm1)与Mm2(深入煤柱距离为Lm2)且分别满足Mm1=-M3|(-Lm1-a，0)与Mm2=-M3|(Lm2+a，0)，对于图4(a)，当煤柱1宽度较小时，煤柱1区无主弯矩极值Mm1，这表明此时煤柱1区的基本顶不发生平行于工作面短边的断裂线。开采悬顶区S0中部的主弯矩均为正，设该区域最大主弯矩为Mop，同样由于两侧煤柱宽度不相等，基本顶受力不均衡，Mop偏向承载力较弱的煤柱1侧而不是在坐标轴交点。
根据板结构特征[16]，主弯矩M3为负值，表明该区域基本顶上表面受拉应力最大，下表面受压应力最大，又由于岩石抗拉强度远小于抗压强度[1]，所以各个区域的基本顶上表面先破断，即基本顶在实体煤侧深入煤体上表面、煤柱1区上表面及煤柱2区上表面先于下表面破断;而开采悬顶区最大主弯矩为正值表示该区域下表面所受拉应力最大，所以该区域下表面先破坏。
基于对图4的分析，绘制图5所示两侧采空(煤柱)基本顶薄板主弯矩极值坐标位置图。那么研究主弯矩Mc，Mop，Mm1与Mm2值的关系可得两短边侧煤柱条件下基本顶的破断规律，研究Lc，Lm1与Lm2值的大小可知基本顶深入煤体(煤柱)的断裂位置。显然，传统模型无法研究这些问题，尤其是断裂线的位置。
图5 两侧煤柱条件下基本顶板结构主弯矩极值坐标
Fig.5 Coordinate diagram of extreme value of primary moments of plate structure of main roof with coal pillars on both sides of stope
以下计算所采用的基本参数为，基本顶的弹性模量E、厚度h及泊松比分别为30 GPa，6 m与0.2，工作面长度AD及AB分别为40 m及120 m、q为0.3 MPa;实体煤k值为2.3 GN/m3，煤柱1支撑系数km1与宽度L1分别为0.45 GN/m3与5 m，煤柱2支撑系数km2与宽度L2分别为0.45 GN/m3与8 m，按照“控制变量法”研究两短边侧采空与两长边侧弹性基础边界基本顶各区域主弯矩大小及所在位置随单一参数L1，L2，km1，km2，k，h或E改变时的变化规律及权重关系，从而得到考虑两侧煤柱条件下的基本顶板结构断裂总体特征与规律。
如图6表示考虑两侧煤柱条件下基本顶的主弯矩与深入煤体距离Lm2，Lc，Lm1随两侧煤柱宽度改变时的变化规律曲线图，其中L2-L1=3 m。
图6 主弯矩及位置随煤柱宽度变化规律
Fig.6 Change law of primary moments and their positions ahead of coal wall with the width of coal pillar
随着两侧煤柱宽度L1与L2增大，中部主弯矩Mop只有微小降低，实体煤区主弯矩Mc及深入煤体距离Lc几乎均无变化;煤柱1，2区的主弯矩与深入煤体距离Mm1，Mm2，Lm1与Lm2均不断增大。
煤柱宽度L1与L2均偏小时，两侧煤柱区均无Mm1及Mm2，其它主弯矩关系为Mc>Mop，这表明煤柱宽度偏小时，基本顶在两侧煤柱区不断裂，即不会产生平行于工作面短边的断裂线(后文煤柱区的断裂线均代表该含义)。当达到弯矩极限时基本顶断裂顺序及位置为:实体煤区偏承载力较弱煤柱或宽度较小煤柱侧(即煤柱1侧，后文均代表此含义)深入煤体上表面→悬顶区中部下表面(偏煤柱1侧)，断裂形态为非对称“=-X”型。
煤柱1的宽度较小时，如图6所示3～4 m之间，此时煤柱1不存在主弯矩Mm1，这表明基本顶在煤柱1区不断裂，其它主弯矩满足Mc>Mop>Mm2，基本顶破断顺序及位置为:偏煤柱1侧的实体煤区上表面→偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面→较强煤柱区上表面(即煤柱2区的上表面，后文均代表此含义)，断裂形态为非对称“U-X”型。
两侧煤柱宽度L1与L2均较大时，主弯矩的大小及位置满足Mc>Mop>Mm2>Mm1与Lm2>Lm1>Lc，基本顶断裂顺序及位置为:偏煤柱1侧的实体煤区上表面→偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面→煤柱2区Lm2位置的上表面→煤柱1区Lm1位置的上表面，断裂形态为非对称“O-X”型。
由此可见两侧采空时，两侧煤柱均不宜简化为简支边，特别是当煤柱宽度较大及两侧煤柱宽度不相等时，否则得到的结论与实际有很大差距。
图7为两侧采空(煤柱)基本顶主弯矩及深入煤体距离Lc，Lm1及Lm2随两侧煤柱支撑系数km1与km2的变化规律图(其中km2-km1=10 MN/m3)。
图7 主弯矩及位置随煤柱支撑系数变化规律
Fig.7 Change law of primary moments and their positions ahead of coal wall with supporting coefficient of coal pillar
km1与km2偏小时，两侧煤柱区均无主弯矩Mm1与Mm2，这表明煤柱支撑系数小时，基本顶在两侧煤柱区不断裂即不产生平行于工作短边的断裂线，其它主弯矩满足Mc>Mop，基本顶破断顺序及位置为:偏煤柱1侧的实体煤区上表面→偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面，断裂形态为非对称“=-X”型。
煤柱1的km1较小，而煤柱2的km2较大时，如图7中km1值在250～450 MN/m3，Mc>Mop>Mm2，此时煤柱1区不存在主弯矩Mm1，这表明基本顶在煤柱1区不破断，基本顶的断裂顺序及位置为:偏煤柱1侧的实体煤区上表面→偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面→煤柱2区上表面，断裂形态为非对称“U-X”型。
煤柱km1与km2均较大时，主弯矩及所在位置满足Mc>Mop>Mm2>Mm1及Lm2>Lm1>Lc，基本顶断裂顺序及位置为:偏煤柱1侧的实体煤区上表面→偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面→煤柱2区Lm2位置处的上表面→煤柱1区Lm1位置的上表面，断裂形态为非对称“O-X”型。
由此可见，两侧采空时，两侧煤柱支撑能力对基本顶的整体断裂特征及非对称断裂形态有关键影响，煤柱不宜简化为没有宽度和可压缩变形的简支边，否则所得结论与实际差距大。
图8为考虑两侧煤柱条件下基本顶板结构的主弯矩及位置随基本顶厚度h的变化曲线图。
图8 两侧采空主弯矩及深入煤体(柱)距离随h变化规律
Fig.8 Change law of primary moments and their distances ahead of coal wall with h on both sides of gob
h较小时，基本顶主弯矩大小及位置满足Mc>Mop>Mm2>Mm1及Lm2>Lm1>Lc，断裂顺序及位置为:偏煤柱1侧的实体煤区上表面→偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面→煤柱2区的上表面→煤柱1区的上表面，且h越小基本顶断裂线深入煤体(煤柱)的距离越小，断裂形态为非对称“O-X”型。
h较大时(如图8中h为7 m时)，煤柱1区无主弯矩Mm1，这说明h较大时，煤柱1侧的基本顶上表面不产生平行于工作面短边的断裂线，其它主弯矩大小及位置满足Mop>Mc>Mm2及Lm2>Lc，则基本顶断裂顺序及位置为:偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面→偏煤柱1侧的实体煤区上表面→煤柱2区的上表面，最终形成非对称“U-X”型断裂形态。
h继续增大，此时两煤柱区均无主弯矩Mm1,Mm2，所以h偏大时，基本顶在两煤柱区均不断裂，而其它主弯矩满足Mop>Mz，则断裂顺序及位置为:偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面→偏煤柱1侧的实体煤区上表面，最终形成非对称“=-X”型断裂形态。
可见，基本顶厚度不仅影响断裂顺序，且显著影响断裂线深入煤体(煤柱)的距离，同时显著影响煤柱区是否产生平行于工作面短边的断裂线。那么在考虑两侧煤柱条件下，不适宜把实体煤夹支区简单简化为固支边，也不适宜把两侧煤柱简化为没有宽度和可压缩变形特性的简支边，否则所得结论偏离实际。两侧采空时弹性模量E与h改变时基本顶的断裂规律相同。
图9为考虑两侧煤柱条件下基本顶板结构模型的主弯矩及位置随k的变化规律曲线图，其中，煤柱弱化系数为η1=η2=0.2。
图9 两侧采空主弯矩及深入煤体(柱)距离随k变化规律
Fig.9 Change law of primary moments and their distances ahead of coal wall with k on both sides of gob
k较小时，此时煤柱1区无主弯矩Mm1，即k较小时，煤柱1侧基本顶上表面不产生平行于工作面短边的断裂线，其它主弯矩大小及位置满足Mop>Mc>Mm及Lm2>Lc，则断裂顺序及位置为:偏煤柱1侧悬顶区中部下表面→偏煤柱1侧的实体煤区上表面→煤柱2区上表面，最终形成非对称“U-X”型断裂形态。
k较大时，主弯矩大小及位置满足Mc>Mop>Mm2>Mm1及Lm2>Lm1>Lc，基本顶断裂顺序及位置为:偏煤柱1侧的实体煤区上表面→偏煤柱1侧的悬顶区中部下表面→煤柱2区上表面→煤柱1区上表面，且k越大基本顶断裂线深入煤体距离越小，最终断裂形态为非对称“O-X”型。
可见，k不仅影响基本顶断裂顺序且显著影响断裂位置及整体的非对称断裂形态。那么考虑两侧煤柱条件时，不宜把实体煤区简单简化为固支边，也不宜把两侧的煤柱区简单简化为没有宽度及可压缩变形的简支边，否则所得结论偏离实际。
基本顶强度或弯矩极限越大，那么它可以保持越大的悬顶面积(跨距指图2中的BC长度)而不破断，按照上述计算方法可得如下结论。
跨距越小，深入煤体的断裂线距离煤壁越远，此时与传统模型得到的结论差别越大。
跨距偏大(基本顶强度或极限弯矩偏大)时，主弯矩及位置满足Mc>Mop>Mm2>Mm1及Lm2>Lm1>Lc，破断形态为非对称“O-X”型。
跨距较大时，主弯矩及位置满足Mop>Mc>Mm2及Lm2>Lc，此时煤柱1区(较弱煤柱区)基本顶上表面不产生平行于工作面短边的断裂线，最终破断形态为非对称“U-X”型。
跨距小时(基本顶强度小或弯矩小)，Mop>Mz，此时基本顶在两煤柱区均不破断，最终破断形态非对称“=-X”型。
可见，考虑两侧煤柱条件下，跨距(强度)不仅显著影响煤柱区主弯矩大小及位置且显著影响实体煤区的主弯矩大小及位置。对于不同跨距(强度)，不宜把实体煤区简单地简化为固支边，也不宜把两侧煤柱区简化为没有宽度及可压缩变形特性的简支边，否则所得结论与实际差距大。
上文分析了两侧煤柱宽度及支撑系数、基本顶厚度、弹模及实体煤弹性基础系数对考虑两侧煤柱条件下的基本顶板结构破断规律的影响，下面分析各参数之间的权重关系。
如图10所示，弹性基础系数k与E的比值不变时，即比值k/E不变时(k,E均改变，煤柱弱化系数η1,η2保持某个任意值不变)，考虑两侧煤柱的基本顶板结构主弯矩大小及位置不变，破断基本规律不变，进一步研究表明k/(Eh3)不变时(其中，η1，η2不变，即km1及km2与k的比值不变)，该基本规律依然成立。
图10 两侧煤柱条件下基本顶断裂因素的权重关系
Fig.10 Weight relations among fracture factors with coal pillars on both sides of stope
如图11(a)所示，L1，km1，L2及km2小而E,h大时，煤柱1，2区基本顶的上表面不产生平行于工作面短边的断裂线，此时基本顶破断位置及顺序为:偏较弱煤柱侧(煤柱1)的悬顶区中部下表面→偏较弱煤柱的实体煤区上表面，断裂形态为非对称“=-X”型，且在端部区的分叉点到煤柱内壁的距离为d11小于d22。
图11 两侧煤柱条件下基本顶薄板初次破断类型
Fig.11 First fracturing type of thin plate of main roof with coal pillars on both sides of stope
如图11(b)所示，L1及km1较小而h,E较大，煤柱1区基本顶的上表面不断裂即不产生平行于工作面短边的断裂线，而煤柱2区基本顶上表面断裂，此时基本顶断裂类型为:偏较弱煤柱侧的悬顶区中部下表面→偏较弱煤柱侧的长边实体煤区上表面→较强煤柱区(煤柱2)的上表面，断裂形态为非对称“U-X”型，且d11小于d22。
如图11(c)所示，当两侧煤柱支撑系数与宽度较大而E，h较小时，基本顶在煤柱区的上表面产生平行于工作面短边的破断线，且d11小于d22，断裂类型为:偏较弱煤柱侧的长边实体煤区上表面→偏较弱煤柱侧的悬顶区中部下表面→较强煤柱区上表面→较弱煤柱区上表面，断裂形态为非对称“O-X”型。
可见，考虑煤柱宽度、支撑力及实体煤区可变形时，两侧煤柱区基本顶的破断类型比较复杂。不仅受到两侧煤柱宽度L1，L2及煤柱支撑系数km1,km2的直接显著影响，而且受到基本顶厚度h、弹性模量E及实体煤弹性基础系数k的间接显著影响。这些参数均可以决定基本顶在两侧煤柱区的破断类型及整体破断形态，且这些参数之间满足比值k/(Eh3)不变时，主弯矩及破断位置不变的规律。
而传统模型结论是:基本顶的断裂顺序及断裂位置与基本顶的E及h无关，与煤柱的宽度L1，L2及支撑系数km1,km2均无关，显然传统模型局限性较大，可研究的问题有限，得到的结论无法有效反映实际特征。
4.8.2 工程意义分析
基本顶的断裂位置、顺序及形态等对认识并指导采场矿压控制至关重要[1]。下面选取其中一个方面，即从基本顶在实体煤区及两侧煤柱区的破断位置角度来对比说明本文考虑两侧煤柱宽度及支撑系数的基本顶板模型与传统模型的区别，由此阐述本文力学模型的工程意义。
现给出一算例:工作面长度160 m、初次来压步距38 m，基本顶厚度7 m、弹性模量29 GPa，q=0.32 MPa，实体煤弹性基础系数k为1.35 GN/m3，两侧煤柱参数为L1=5 m，L2=7 m，煤柱弱化系数η1=0.25、η2=0.3。计算得到实体煤侧基本顶破断线深入煤体距离Lc=3.3m，由于Mm1不存在，即基本顶在煤柱1区不破断，煤柱2的断裂位置为Lm2=3.6 m(若两侧煤柱宽度均为6 m，那么煤柱侧断裂线深入煤柱的距离Lm1=Lm2=3.2 m)，那么最终形成图12(a)所示的“U-X”型破断形态，并在两侧煤柱区与实体煤区做剖面图I-I、II-II及III-III，具体分析结果如下。
图12 两侧煤柱时与传统模型对比基本顶断裂位置
Fig.12 Comparison of fracture positions of main roof with coal pillars on both sides of stope to conventional model
图12(b)(I-I剖面)说明煤柱1的宽度较小时，基本顶在煤柱1区无平行于工作面短边的断裂线;图12(c)(II-II剖面)说明煤柱2宽度较大时，基本顶在煤柱2区会发生破断，即断裂线在煤柱2区的上方距煤柱内壁距离为Lm2。而对于如图12(e)所示的传统模型，假设煤柱为没有宽度和压缩特性的简支边，所以无法分析煤柱侧基本顶破断的实际形式，更无法分析煤柱宽度不相等时两侧煤柱区基本顶破断的非对称性，所以无法准确判断破断后岩块结构的稳定性。
图12(d)(III-III剖面)为工作面推进方向基本顶断裂位置示意图，基本顶长边断裂线深入煤体的距离为Lc=3.3 m，而传统模型(实体煤侧固支边)得到Lc=0即破断线沿着煤壁，如图12(f)所示。两侧采空基本顶初次破断时，破断线在长边实体煤内部Lc位置处，显然在基本顶破断初始阶段，已经断裂的基本顶前方端部有宽度为Lc的煤体支撑，此时支架的压力不会明显增大，随着工作面推进到断裂线正下方时，前方支撑基本顶的煤体宽度为零，所以此时基本顶载荷主要施加在下方支架上，这是强矿压显现位置也是最易发生大面积切顶灾害的位置。可见基本顶破断与显著来压之间不是同时发生的，而是滞后一段距离Lc，这为实际工作中提前预防基本顶到达断裂线下方时可能出现大面积切顶灾害事故提供了时间和空间(即存在关键时间节点[19])。
由此可见，传统两侧采空模型，无法得到和分析基本顶深入实体煤区的破断位置及特征，也无法分析工作面两侧的基本顶破断线位置与煤柱关系。而本文的两侧采空模型可以很好的弥补该不足。
(1)两侧煤柱宽度和支撑系数显著影响两个煤柱区基本顶的破断形式及整体破断特征，而对基本顶长边与中部主弯矩的数值影响小;基本顶悬顶区中部与长边的破断主要由实体煤区的弹性基础系数k及基本顶厚度h和弹性模量E决定。
(2)基本顶在长边实体煤区的断裂线深入煤体的距离Lc与基本顶的E,h大小成正相关，而煤柱的支撑系数km1,km2与宽度L1,L2对Lc的影响小;km1，km2越小，E,h,L1,L2越大，基本顶在短边的断裂线深入两侧煤柱区的距离越大。
(3)L1,km1,L2及km2偏小而E,h大时，两侧煤柱区基本顶均不破断，破断特征为非对称“=-X”型;L1及km1较小而h,E较大时，基本顶在较强煤柱区会破断，而在较弱煤柱区不破断，破断特征为非对称“U-X”型;当E,h较小而两侧煤柱支撑系数与宽度均较大时，破断特征为非对称“O-X”型。比值k/(Eh3)不变时(km1及km2与k保持某个任意比值不变)，基本顶破断的基本规律不变。
但是，众所周知，采矿地质及围岩环境极其复杂且多变，任何力学模型都难以完全反映其真实的地质及力学环境，远非传统的“两固+两简”模型能够代替，也不是本文考虑了两侧煤柱宽度和支撑力、两侧煤柱支撑力非对称性及实体煤区可变形特性的新模型所能完全代替的，但是得到了传统模型得不到的结论，弥补了传统“两简支边+两固支边”模型的不足。在理论与实践认识层面上又推进了一步。
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