1029 张国军1,2，张 勇1,2,3
(1.中国矿业大学(北京) 能源与矿业学院，北京 100083; 2.中国矿业大学(北京) 共伴生能源精准开采北京市重点实验室，北京 100083; 3.中国矿业大学(北京) 煤炭安全开采与地质保障国家级实验教学示范中心，北京 100083)
摘 要:材料内一点的应力状态可以用摩尔圆来表示，而同一点的不同的应力状态可以用坐标系内应力圆的不断变化来表示，应力圆的变换主要可以分为“平移”、“翻转”、“半径扩大”“半径缩小”4种方式，这4种方式几乎包含了岩石材料的所有加(卸)载过程;加(卸)载速率可以用来表征不同应力状态间的转化的快慢程度，加(卸)载速率并不是单纯的单位时间的变化快慢，可以是单位空间尺度的变化，如单位长度、单位深度等;基于摩尔-库伦准则对岩石材料“双向受压”、“双向受拉”和“一拉一压”3种状态下的加卸载过程进行了分析，并获得了与之对应的临界破坏方程，在此基础上，通过引入时间加权平均加(卸)载速率，进一步分析了岩石材料破坏与时间加权平均加(卸)载速率之间的关系，并以时间加权平均加(卸)载速率为基础对岩石材料破坏与否进行了分区;采用FLAC3D对7种不同加载路径下常规三轴数值模拟实验，模拟所获得材料发生破坏时最大主应力峰值与理论计算结果吻合度高达98%;同时又进行7种轴向与径向加载速率之比、4种加载速率条件下常规三轴数值模拟试验。结果表明，只有当轴向和径向加载速率之比处于一定范围时，材料才会发生破坏，加载速率与材料破坏时最大主应力峰值正相关，与最大主应力和最小主应力之比负相关。
关键词:摩尔圆;摩尔-库伦准则;加(卸)载速率;加(卸)载速率之比;临界破坏;分区破坏
中图分类号:TD313
文献标志码:A
文章编号:0253-9993(2019)04-1049-10
收稿日期:20181029
修回日期:20190311
责任编辑:常 琛
基金项目:国家重点研发计划资助项目(2018YFC0604501);中央高校基本科研业务费资助项目(2011YZ05)
作者简介:张国军(1989—)，男，河北唐山人，博士研究生。E-mail:cherish_guojun@163.com
通讯作者:张 勇(1968—)，男，北京人，教授，博士生导师。E-mail:Johnzy68@hotmail.com,Johnzy68@163.com
ZHANG Guojun1,2,ZHANG Yong1,2,3
(1.School of Energy and Mining Engineering,China University of Mining and Technology (Beijing),Beijing 100083,China; 2.Beijing Key Laboratory for Precise Mining of Inter Grown Energy and Resources,China University of Mining and Technology (Beijing),Beijing 100083,China; 3.National Demonstration Center for Experimental Safe Coal Mining and Geological Guarantee Education,China University of Mining and Technology (Beijing),Beijing 100083,China)
Abstract:The stress state of a point in the material can be indicated by a Mohr circle and the different stress states of a point can be determined by charging stress circle under the coordinate system.The transformation of stress circle can be mainly divided into translation,flipping,radius expand and radius diminution.For rock material,these transformations almost include all the processes of loading and unloading.Loading and unloading rate can be used to indicate the speed of transformation between different stress states,and it is not only the change of unit time,but also the change of unit space scale,such as unit length,unit depth,etc.Based on the Mohr-Coulomb criterion,this paper analyzed the rock materials loading and unloading processes under the states of compression-compression,tension-tension and tension-compression,and found out the corresponding critical failure equation.On this basis,the relationship between time-weighted average loading and unloading rate of rock materials and the destruction level of rock materials were further obtained.According to the different time-weighted average loading and unloading rates,this paper also distinguished whether the rock materials is destroyed.This research adopted the FLAC3D conventional three-axis numerical simulation experiments of seven different loading paths.The result showed when the material is damaged,the coincidence degree of the principle stress peak and the theoretical calculation result is as high as 98%.At the same time,this paper also conducted some simulation experiments under the conditions of seven kinds of axial and radial loading rates ratio and four types of loading rates.The test results indicated that the material is able to be destroyed when the ratio of the axial and radial loading rates reach within a certain range.The loading rate is positively correlated with the maximum principal stress peak,which occurs at the state of material failure,and negatively correlated with the ratio of the maximum to the minimum principal stress.
Key words:Mohr circles;Mohr-Coulomb criterion;loading and unloading rate;loading and unloading rates ratio;critical failure;partition failure
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张国军，张勇.基于摩尔-库伦准则的岩石材料加(卸)载分区破坏特征[J].煤炭学报,2019,44(4):1049-1058.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.1446
ZHANG Guojun,ZHANG Yong.Partition failure characteristics of rock material loading and unloading based on Mohr-Coulomb criterion[J].Journal of China Coal Society,2019,44(4):1049-1058.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2018.1446
摩尔圆是用来表征空间内一点应力、应变状态的几何方法[1]，在同一坐标系内由一系列的极限摩尔圆包络线构成了库伦包络线[2]，摩尔圆与库伦包络线两者有机结合形成了如今的摩尔-库伦破坏准则，作为一种判别岩石材料破坏与否标准[3]，并被广泛的应用于解决各种工程问题[4]。
众多学者基于摩尔-库伦破坏准则进行了深入的研究:WOO等[5]建立了砂岩临界塑性破坏模型;BARSANESCU等[6-7]进一步扩展了摩尔-库伦理论，建立了延性岩石材料破坏理论;梅毕祥等[8]根据渗流理论对球形孔扩张问题进行了深入分析;PUJOL等[9]基于摩尔-库伦强度准则对62组钢筋混凝土立柱的进行了抗剪强度分析;ROBERT[10]采用修正摩尔-库伦强度准则对不饱和土中管道破坏现象进行了研究;GALINDO等[11]应用修正摩尔-库伦强度准则对岩体的极限承载强度进行了研究;SHAFIQ等[12]对高应力下陶瓷稳定性和准静态和动态加载过成进行了系统分析，获得了加载率与材料强度之间的关系;PAPANASTASIOU等[13]对摩尔-库伦材料单一裂纹尖端塑性场进行了研究;MAKHNENKO等[14]基于Paul-Mohr-Coulomb破坏准则对脆性岩石材料的破坏过程进行了深入的研究;孙路路等[15]基于摩尔-库伦准则建立含瓦斯煤层平动突出模型，推导了巷帮塑性区宽度的解析式;张诗淮等[16]采用PFC3D进行了真三轴数值模拟实验，提出了一种修正摩尔-库伦准则形状函数的方法。摩尔-库伦破坏准则正广泛的应用于岩石力学、岩石工程以及岩石材料力学各个领域，大部分问题都可以以此为基础进行研究，随着科技的进步，众多学者对摩尔-库伦破坏准则进行了不断的修正和扩展，使其具有更加广泛的适用性。除此之外，众多学者还对加卸载与煤岩材料的力学响应特征[17-20]、分形特征[21]、非均匀变形[22]、声发射特征[23-24]、渗透率[25-27]等进行了大量的研究。
然而，岩石材料所处的应力状态以及不同应力状态之间的相互转化直接影响岩石材料的稳定性，对于岩石材料是否发生破坏取决于摩尔应力圆是否与库伦包络线相交。岩石材料由稳定到破坏的过程可以看成是2种应力状态之间的相互转换，而转换过程可以用加(卸)载来进行表述，应力状态之间的变换速度可以用加(卸)载速度来表示，需要说明的是，本文中的加(卸)载速度并不是狭义的单位时间应力增加减小的数值，而是广义的加(卸)载速度，这里的加(卸)载速度可以表示为岩石材料所受的应力在单位时间、单位长度、单位深度以及单位温度等的变化量。因此，本文将从岩石材加(卸)载过程、加(卸)载速率、加(卸)载速率之比等3个方面进行研究。
试验表明，当所有主应力均为压应力时，摩尔库伦破坏准则比较适用于岩石材料，尤其是岩石材料的单轴抗压强度远大于单轴抗拉强度时更为适用。
岩石材料外载荷的变化直接影响应力的变化，在应力空间中一点的应力状态的应力点将会发生移动，应力点的移动轨迹称为应力路径，这一过程称为应力历史[28]。岩石材料内一点的应力状态改变的过程可以看成是其外在载荷的变化过程，可以用加载或卸载表示，如图1所示。
图1 一点应力状态的变化过程
Fig.1 Change process of stress-states at a point
图1中A单元为岩石材料某一点初始应力状态，σ1，σ3是分别为该状态的最大主应力和最小主应力;F(t)，f(t)分别代表初始应力状态下的σ1，σ3经过一段时间后与初始状态下的差值，其变化过程可能是线性的也可能是非线性的，若F(t)，f(t)的数值为正则为加载过程，若F(t)，f(t)的数值为负则为卸载过程;B单元代表平面内某点的应力状态通过加载或卸载形成的新的应力状态，
是分别代表初始最大主应力和最小主应力经过一定时间的加(卸)载后应力，
与
的大小与初始应力状态和2个主应力方向加(卸)载的幅度有关，因此，岩石材料内某一点的应力状态经过不断的变化最终表示为
(1)
式中，σ1和σ3分别为岩石材料内某点初始最大主应力和最小主应力;和分别为岩石材料内某点初始最大主应力和最小主应力经过一定加(卸)载变换后的主应力;F(t)和f(t)分别为岩石材料内某点应力随t的变化的加(卸)载函数;t为加(卸)载时间，也可代表岩层埋藏的深度、应变等标量。
式(1)中的和仅仅代表岩石材料经过加(卸)载变化后的主应力，表示初始主应力经过一段时间加(卸)载变化后的应力状态，至于最终状态下最大和最小主应力的方向，需要根据岩石材料在不同方向的加载和卸载情况来考虑，岩石材料经过加(卸)载后，其内部某一点的应力变化可以看成是摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的经历或平移、或翻转、或放大、或缩小等多种方式的变化，如图2所示。
图2 不同加(卸)载条件下一点应力状态变化
Fig.2 Change process of stress-states at a point under different loading or unloading conditions
当岩石材料的2个方向所受的载荷变化均为加载，则F(t)，f(t)均为正值。当F(t)=f(t)时，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的变换形式仅为“平移”;当F(t)>f(t)>0时，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的变换形式为“平移”+“半径扩大”，如图2(a)所示。当F(t)∈(f(t)+σ3-σ1，f(t))时，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的变换形式为“平移”和“半径缩小”;当F(t)=f(t)+σ3-σ1时，此时摩尔应力圆缩小成坐标轴上的一个点;当F(t)<f(t)+σ3-σ1时，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的变换形式为“翻转”+“平移”+“半径扩大”(或“半径缩小”，或“半径不变”)，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内发生“翻转”,如图2(b)所示。
当岩石材料的2个方向所受的载荷变化均为卸载时，则F(t)，f(t)均为负值，可以看成是加载过程的逆过程，可以将图2(a)和图2(b)中的B点看成是初始状态，A点看成经过卸载后的应力状态。
当岩石材料的2个方向所受的载荷一个方向为加载，另一个方向为卸载时，则F(t)f(t)<0。当F(t)>0时，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的变换形式主要是以“半径扩大”为主，同时还有可能伴随着摩尔应力圆的“平移”，如图2(c)所示;当F(t)<0时，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的变换形式主要是以“半径缩小”为主，同时还有可能伴随着摩尔应力圆的“平移”、“翻转”和“半径扩大”，如图2(d)所示。
摩尔-库伦破坏准则是在不考虑岩石材料中间主应力条件下的一组线性方程，可以用来判别岩石材料是否发生破坏[29]。摩尔-库伦强度理论在总结各种应力状态下岩石材料破坏实验结果的基础上，建立的具有一定经验性的强度理论，认为岩石材料的破坏是由作用在滑移面上的正应力和剪应力共同决定的，其函数表达形式[30]为
τ=c+σtan φ
(2)
式中，τ为剪应力;σ为法向正应力;c为黏聚力;φ为内摩擦角。
岩石材料加载过程中的力学本质是摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的一系列的变换，岩石材料经过一定的加卸载变换后是否处于稳定状态，其实质是σ-τ直角坐标系内摩尔应力圆是否与式(2)相交，若相交则岩石材料发生破坏。因此需要对岩石材料某一点经过加(卸)载变换后，摩尔应力圆的直径与其圆心到摩尔库伦强度曲线的距离进行比较分析。
由图2中的几何关系可知，岩石材料某一点经过加(卸)载前后的摩尔应力圆半径分别可表示为
(3)
式中,R和R′分别为加(卸)载前后摩尔应力圆半径。
岩石材料某一点经过加(卸)载后的摩尔应力圆圆心到摩尔库伦强度曲线的距离可以表示为
(4)
式中，
和
分别为加(卸)载前后摩尔应力圆圆心到摩尔库伦强度曲线的距离;
为摩尔库伦强度曲线在τ轴上的截距，其值为岩石材料的黏聚力c。
研究岩石材料在经过加(卸)载后是否发生破坏的前提是岩石材料的初始状态没有发生破坏，则初始状态下σ1,σ3需满足:
(5)
岩石材料在加(卸)载后是否会发生破坏，需要比较R′和的大小，若
则岩石材料将会发生破坏;若
则岩石材料将不会发生破坏。因此，岩石材料在加(卸)载过程中始终保持稳定而不发生破坏需要满足的基本条件为
(6)
当岩石材料所受的最大主应力和最小主应力同为压应力时，依据摩尔库伦准则可以获得在双向受压的条件下，岩石材料发生破坏的临界方程:
(7)
由于摩尔-库伦破坏准则是通过岩石压缩实验获得的，该准则对于岩石材料处于压缩状态的表述较为准确，但是对处于拉伸状态下的岩石材料存在着很大的误差。众多学者对岩石材料的抗拉强度进行了大量的研究，同时提出多种岩石强度准则和相关修正理论[31-32]，虽然各有所长，但都存在一定的局限性。作为力学基本定律之一的广义胡克定律被广泛认可，因此，本文从岩石材料受外力作用时，在不同方向上发生不同的应变，同时考虑到岩石的抗拉强度<抗剪强度<抗压强度，并以最大拉应力强度准则为岩石材料破坏判断标准，进一步研究岩石材料在单向受拉、一拉一压和双向受拉3种情况下的临界破坏状态。
岩石材料在破坏前，由于纵向载荷的作用，在其纵向和横向上必然产生应变，2个方向上应变之比的绝对值就称为泊松比ν，这是岩石材料的本质属性之一[33]。通常来讲，在岩石材料发生破坏前认为其泊松比和弹性模量不会发生改变，因此，当岩石材料一个方向上受到外力作用时，沿外力方向上一定会产生应变，同时与外力不同方向上也会产生应变，为了方便研究，选取2～3个正交的应变进行研究，以岩石的单轴压缩(拉伸)实验为例，轴向的应变必然会引起径向上的应变，岩石材料的轴向压缩和径向拉伸可以相互转换。由广义胡克定律可以获得岩石材料内部轴向和径向的应力之比为-ν，因此，可以获得岩石材料的单轴抗拉强度与岩石材料的单轴抗拉强度之间的关系:
(8)
式中，ν为泊松比;σt为单轴抗拉强度;σu单轴抗压强度。
同理，对于轴向和径向均受外力作用的岩石材料，依据广义胡克定律和应力叠加原理可以获得岩石材料在“一拉一压”状态下的岩石材料发生破坏的临界方程:
(9)
当岩石材料处于双向受拉时，依据广义胡克定律、应力叠加原理和合力计算与分配[34-35]相关理论，可得岩石材料发生双向拉破坏的基本条件:
(10)
综合以上研究结果，可以用数学方程及其对应曲线的形式来划分岩石材料发生破坏的临界状态，如图3所示。
图3 岩石临界破坏状态关系曲线
Fig.3 Critical material failure state relationship curve of rock materials
图3中，直角坐标系中第一象限中的直线方程是岩石材料“双向受压”状态的临界方程，当岩石材料所受应力处于两直线方程中间时，材料处于稳定状态，当2个方向上的应力满足式(7)时，岩石材料处于临界破坏状态，此时岩石材料的破坏主要为剪切破坏;直角坐标系中第2象限和第4象限中的直线方程是岩石材料“一拉一压”状态的临界方程，当岩石材料所受应力处于两直线方程中间时，材料处于稳定状态，当2个方向上的应力满足式(9)时，岩石材料处于临界破坏状态，此时岩石材料的破坏主要为拉破坏;直角坐标系中第3象限中的曲线方程是岩石材料“双向受拉”状态的临界方程，当岩石材料所受应力处于曲线方程内部时，材料处于稳定状态，当2个方向上的应力满足式(10)时，岩石材料处于临界破坏状态，此时岩石材料的破坏主要为拉破坏;坐标轴的正向表示材料单向受压，与式(7)的交点为岩石材料的单轴抗压强度;坐标轴的负向表示材料单向受拉，与式(9)，(10)的交点为岩石材料的单轴抗拉强度。
当
时，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内的变化主要为“平移”、“半径缩小”和“半径扩大”，摩尔应力圆不发生翻转，则岩石材料内部某点最大主应力和最小主应力的方向不发生改变，在保证岩石材料不发生破坏的基础上，岩石材料内某点2个方向上的应力随时间变化(加(卸)载)的函数间需要满足的关系为
(11)
岩石材料经过加(卸)载后发生破坏的临界为
(12)
将式(12)两端进行求导，可以获得摩尔应力圆不翻转条件下，岩石材料时间加权平均加(卸)载速率与岩石材料破坏的临界关系为
(13)
式中，
分别为岩石材料2个主应力方向上的时间加权平均加(卸)载速率;F(t)′和f(t)′分别为F(t)和f(t)对时间的导数。
通常岩石材料的加卸载过程不是一个稳定变化过程，即加(卸)载速率不是一个恒定不变的，岩石材料的加(卸)载速率时大时小、时正时负，而时间加权平均加(卸)载速率可以更好的说明岩石材料加(卸)载速率与岩石材料破坏过程的相互关系。
(1)当
时，无论岩石材料的时间加权平均加(卸)载速率和加(卸)载的时间如何变化，岩石材料将始终保持稳定状态，不会发生破坏;
(2)当
时，岩石材料是否发生破坏与岩石材料的初始应力状态和加载(卸)时间有关，只有当t取值趋近于无穷时，岩石材料才可能发生破坏，一般情况下岩石材料将始终保持稳定状态;
(3)当
时，岩石材料随着时间的增加逐渐由稳定到破坏，只要加载(卸)的时间足够大，岩石材料必将发生破坏，岩石材料发生破坏时的载(卸)时间与岩石材料的初始应力状态、时间加权平均加(卸)载速率有关。
当
时，岩石材料的最大主应力和最小主应力方向与初始状态相比发生了改变，即摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内发生了翻转，摩尔应力圆在σ-τ直角坐标系内在发生“平移”的基础上，摩尔应力圆半径经历了逐渐缩小到一个点，再由一个点逐渐扩大的过程，翻转的节点是摩尔应力圆缩小成一个点，这一过程中在保证岩石材料不发生破坏的基础上，岩石材料内某点2个方向上的应力随时间变化(加(卸)载)的函数间需要满足的关系为
(14)
岩石材料经过加(卸)载后发生破坏的临界为
(15)
将式(15)两端进行求导，可以获得摩尔应力圆翻转条件下，岩石材料时间加权平均加(卸)载速率与岩石材料破坏的临界关系为
(16)
(1)当
时，无论岩石材料的时间加权平均加(卸)载速率和加(卸)载的时间如何变化，岩石材料将始终保持稳定状态，不会发生破坏;
(2)当
时，岩石材料是否发生破坏与岩石材料的初始应力状态和加载(卸)时间有关，只有当t取值趋近于无穷时，岩石材料才可能发生破坏，一般情况下岩石材料将始终保持稳定状态;
(3)当
时，岩石材料随着时间的增加逐渐由稳定到破坏，只要加载(卸)的时间足够大，岩石材料必将发生破坏，岩石材料发生破坏时的加(卸)载时间与岩石材料的初始应力状态、时间加权平均加(卸)载速率有关。
根据上文分析，可以获得岩石材料加(卸)载速率和岩石材料稳定性之间的关系，如图4所示。
图4 加(卸)载速率和岩石材料稳定性分区
Fig.4 Relationship between loading (unloading) rate and material stability Ⅰ—加载稳定区;Ⅱ—主应力方向不变破坏区;Ⅲ—卸载稳定区;Ⅳ— 主应力方向改变破坏区;Ⅴ—应力圆正方向移动半径扩大破坏区;
Ⅵ—应力圆负方向移动半径缩小破坏区;Ⅶ—应力圆负方向移动半径 先减小再增大破坏区;Ⅷ—应力圆正方向移动半径先减小再增大破坏区
(1)当岩石材料2个方向的加(卸)载速率关系处于Ⅰ和Ⅲ区时，岩石材料2个主应力方向同时加载或卸载，岩石材料加(卸)载速率满足Ⅰ和Ⅲ区的关系时，岩石材料会一直保持稳定，与加卸载时间无关。对于未受工程扰动的岩层，随着埋藏深度的不断加深，岩石所受的应力不断加大，可以看成是加载过程，2个主应力方向上应力加载速率处于Ⅰ区，越向深部其2个方向的加载速率越是与Ⅰ吻合，这也能解释深部岩体在未受工程扰动情况下仍然能够保持稳定;反之，由深部向浅部的过程，岩石所受应力逐渐减小可以看成是卸载过程，该过程与Ⅲ区吻合。
(2)当岩石材料2个方向的加(卸)载速率关系处于Ⅱ区时，岩石材料的最大主应力方向和最小主应力方向不发生改变。当2个方向加(卸)载速率关系处于Ⅴ区时，摩尔应力圆在坐标轴表现的形式为摩尔圆半径逐渐扩大且圆心正向移动，若时间足够长时岩石材料必将发生破坏;当2个方向加(卸)载速率关系处于Ⅵ区时，摩尔应力圆在坐标轴表现的形式是，摩尔应力圆负方向移动同时摩尔圆直径减小，此时最小主应力以卸载为主，岩石材料发生破坏的时间由初始应力状态决定。
(3)当岩石材料2个方向的加(卸)载速率关系处于Ⅳ区时，岩石材料的最大主应力方向和最小主应力方向发生互换，摩尔应力圆在坐标轴上的变换方式变现为摩尔圆半径逐渐减小至零，然后在进一步扩大。通常来讲，在摩尔圆直径减小到零的过程岩石材料不会发生破坏，只有当摩尔圆直径由零进一步变大时岩石材料才会发生破坏，即摩尔圆在坐标系内发生“翻转”前，岩石材料不会发生破坏，岩石材料的破坏主要发生在摩尔圆发生“翻转”后。当2个方向加(卸)载速率关系处于Ⅶ区时，摩尔应力圆在坐标轴上向负方向移动，初始最大主应力一直处于卸载状态，其卸载速度快于初始最小主应力方向上的加(卸)载速率，岩石材料发生破坏的时间与初始应力状态有关;当2个方向加(卸)载速率关系处于Ⅷ区时，摩尔应力圆在坐标轴上向正方向移动，初始最小主应力方向上的应力一直处于加载状态，其加载速度高于初始最大主应力方向上加(卸)载速率，此时岩石材料中的最大主应力与最小主应力之间的差值逐渐缩小，直至摩尔应力圆发生“翻转”，在摩尔应力圆发生“翻转”前岩石材料一直保持稳定状态，当摩尔圆发生翻转之后再经过足够长的加(卸)载后，岩石材料才会发生破坏，此时岩石材料发生破坏的时间主要由2个主应力方向加(卸)载速率决定。
为了验证上述关于岩石材料稳定性与岩石材料加卸载之间稳定性是否存在上述关系，因此采用FLAC3D数值模拟软件对岩石材料在不同加(卸)载条件下发生破坏的临界值。模型尺寸为φ50 mm×100 mm，单元个数为13 904，节点个数为16 336，轴向方向的应力变化与时间(此处的时间是广义上的时间，与FLAC3D中的循环次数相对应)的关系为F(t)，径向方向的应力变化与时间的关系为f(t)，初始应力σ1=σ3=0，如图5所示。
图5 数值模拟模型
Fig.5 Numerical simulation model
采用摩尔-库伦破坏准则作为数值计算的本构方程，模拟所采用岩石材料的主要力学参数见表1。
表1 主要力学参数
Table 1 Primary mechanical parameters
采用自编的Fish语言分别模拟7种不同的轴向和径向加载方式下的常规三轴数值模拟，如图6所示。
图6 轴向和径向应力加载路径
Fig.6 Loading paths of axial and radial
模型初始平衡后，每运行一个循环，轴向和径向应力增加同时100 Pa，当径向应力达到所设定的数值(0，0.1，1.0,5.0，10.0,15.0，20.0 MPa)后，径向应力数值固定，轴向应力继续增加，直至材料发生破坏为止。同时对材料中心部位块体的最大主应力进行监测，获得材料发生破坏时最大主应力峰值，同时依据式(10)对以上7种加载方式下岩石材料发生破坏时最大主应力的理论值进行计算，并对数值模拟与理论计算结果进行统计，见表2。
表2 数值模拟与理论计算最大主应力峰值
Table 2 Maximum principal stress peak of numerical simulation and theoretical calculation
注:偏差率=(数值模拟峰值-理论计算峰值)/理论计算峰值。
由表2可知，通过数值模拟获得的岩石材料最大主应力峰值与经理论计算获得的最大主应力峰值高度的吻合度;通过比较数值模拟和理论计算所获得岩石材料最大主应力峰值变差率可知，2种计算方法的峰值偏差率在-1.73%～0.41%，因而，理论计算的准确率在98.27%～99.59%，进一步可以说明通过式(10)所计算的岩石材料最大主应力峰值具有较高的准确性，进一步验证了岩石材料临界破坏分区的正确性。
若岩石材料轴向和径向的加载速率之比属于图4中的Ⅰ区和Ⅲ区，则材料保持稳定不会发生破坏;若岩石材料轴向和径向加载速率之比处于图4中的Ⅰ区和Ⅲ区以外区域时，同时加(卸)载的时间足够长，则岩石材料必定发生破坏，除此之外，轴向和径向加载速率之间的差别越大岩石材料发生破坏所用的时间越小，岩石材料发生破坏时最大主应和最小主应力之间的差值越小，反之，则越大。
为了充分说明加(卸)载速率之比与岩石材料是否发生屈服破坏之间的关系，同时根据表1假定材料的力学参数和式(13)和式(16)分别可以获得岩石材料发生破坏的临界加载速率之比分别为2.514和0.378，因此，若轴向和径向加载速率之比在0.378～2.514时，随着轴向和径向压力的增加，岩石材料不会发生破坏;若轴向和径向的加载速率之比小于0.378或者大于2.514时，随着轴向和径向压力的增加，岩石材料必然会发生破坏。因此，采用FLAC3D分别进行了轴向和径向加载速率之比为0.1，0.2，0.4，1.0，2.5，5.0和10.0等7种加载速率之比的常规三轴数值模拟，同时还对加载速度(+100，+1 000，+10 000，+100 000 Pa/step)与材料的稳定状态进行了研究，具体数值模拟方案如图7所示。
图7 不同加载速率、加载速率之比模拟方案
Fig.7 Simulation scheme of different loading rates and loading rate ratio
通过以上28组常规三轴数值模拟分别对岩石材料中心部分最大主应力和最小主应力进行了监测，同时岩石材料发生破坏时最大主应力峰值和对应最小主应力进行了统计，见表3。
表3 最大主应力峰值及其最小主应力
Table 3 Maximum principal stress peak and its minimum principal stress
注:“—”表示模拟过程中的主应力σ1和σ3的数值超过1 TPa。
由表3统计数据可知，若轴向和径向加载速率之比为定值时，随着加载速率的提高，岩石材料强度存在一定比例的提高，加载速率越快，岩石材料发生破坏时最大主应力与最小主应力之间的比值越小。若加载速率一定时，当轴向和径向加载速率之比小于
时，随着比值增大，最大主应力峰值增大，与之对应的最小主应力增大，差值增大;当轴向和径向加载速率之比处于
时，无论加载速率之比和加载速率如何变化，岩石材料将不会发生破坏;当轴向和径向加载速率之比大于
时，随着比值增大，最大主应力峰值减小，与之对应的最小主应力减小，差值减小。
(1)岩石材料的最终应力状态决定岩石材料是否发生破坏，基于摩尔-库伦破坏准则以及广义胡克定律，最终获得了岩石材料处于“双向受压”、“双向受拉”和“一拉一压”3种应力状态下，岩石材料处于临界破坏状态时2个方向上应力之间的关系。
(2)通过对岩石材料处于临界破坏状态时2个方向上应力之间的关系，可以进一步获得岩石材料破坏加(卸)载速率之间的关系，进而依据另一个方向上加卸载速率的不同，对岩石材料是否发生破坏以及破坏方式进行了分区。需要特别指出的是，加(卸)载速率并不是单纯的单位时间内的应力差，而是广义的由一个状态到另一个状态的变化过程，可以指单位时间、长度、深度等。
(3)当岩石材料轴向和径向加载速率之比处于时，岩石材料将会一直保持稳定不会发生破坏;当岩石材料轴向和径向加载速率之比处于其他范围时，岩石材料经过一段时间的加载，必将发生破坏，最大主应力应力峰值与加载速率之间成正相关，最大主应力与最小主应力之间的比值与载速率之间成负相关。
(4)采用FLAC3D分别从岩石材料加(卸)载过程、加(卸)载速率、加(卸)载速率之比3个方面进行了模拟，数值模拟计算结果与理论计算结果一致。
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