0102 梁运涛1,王树刚2,蒋 爽3,胡沛裕2,林 琦2,宋双林1,2
(1.煤科集团沈阳研究院有限公司 煤矿安全技术国家重点实验室，辽宁 抚顺 113122; 2.大连理工大学 建设工程学部，辽宁 大连 116024; 3.大连民族大学 土木工程学院，辽宁 大连 116600)
摘 要:煤炭自然发火存在明显的介尺度特性，应用介尺度科学理论将煤炭自然发火的微观反应机理与宏观变化特征相关联，有助于推进煤自燃领域的深入研究。首先分析了单煤颗粒、煤颗粒聚团及煤堆3个尺度的区别及相互联系，指出尺度之间正确的信息传递是多尺度模拟的前提，煤自燃领域尺度信息传递的主要方式是“尺度上联”。从数学建模角度提出煤颗粒聚团的本质就是煤堆的表征体元，以表征体元为最小单位的表征体元尺度数值模拟是一种忽略聚团内结构变化的基于宏观数学模型的计算方法，相对应的表征体元内考虑单煤颗粒相互影响的孔隙尺度数值模拟是一种基于微观数学模型的计算方法，由此明确了煤自燃研究中介尺度II所在的堆积态煤体层次的物理过程与数学概念。其次基于表征体元尺度的定义，考虑瞬时孔隙率和高温辐射换热特征，建立了连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和浓度方程，简述了求解过程，指出需要由孔隙尺度模型获取的参数有孔隙率、渗透率、对流换热系数等。接着论述了基于格子玻尔兹曼方程、考虑内部孔隙结构的孔隙尺度微观模型，并用实例展示了采用工业CT技术获取煤岩体孔隙物理结构、3维数字重构及表征体元提取的步骤。最后利用不同尺度之间参数的本构关系，提出从孔隙尺度获取宏观控制方程中孔隙率、渗透率、惯性系数和对流换热系数的尺度上联方法，从数学上实现了孔隙尺度微观模型到表征体元尺度宏观模型之间的信息传递，从而完成了从孔隙尺度到表征体元尺度的多尺度物理建模和数学建模。
关键词:煤炭自然发火;介尺度;表征体元;孔隙;尺度上联
中图分类号:TD75
文献标志码:A
文章编号:0253-9993(2019)04-1138-09
收稿日期:20190102
修回日期:20190305
责任编辑:常明然
基金项目:国家自然科学基金资助项目(51774181);煤矿安全技术国家重点实验室开放课题基金资助项目(SKLCMST104)
作者简介:梁运涛(1974—)，男，河北晋州人，研究员，博士。Tel:024-56613503,E-mail:liangyuntao@vip.sina.com
通讯作者:蒋 爽(1981—)，男，河南南阳人，讲师，博士。Tel:0411-87557421,E-mail:shjiang@dlnu.edu.cn
LIANG Yuntao1,WANG Shugang2,JIANG Shuang3,HU Peiyu2,LIN Qi2,SONG Shuanglin1,2
(1.State Key Laboratory of Coal Mine Safety Technology,CCTEG Shenyang Research Institute,Fushun 113122,China; 2.Faculty of Infrastructure Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China; 3.College of Civil Engineering,Dalian Minzu University,Dalian 116600,China)
Abstract:The coal spontaneous combustion has obvious mesoscale characteristics.The application of the mesoscale science and theory to correlate the microscopic reaction mechanism with the macroscopic properties of coal spontaneous combustion contributes to the in-depth study in the field of coal spontaneous combustion.Firstly,the physical process and the mathematical concept of the coal pile gradation in which the mesoscale II exists are made clear.The differences and interrelationships among the three scales of single coal particle,particle cluster and coal pile are explained in detail.Specifically,multi-scale simulation depends on the reasonable information transfer among scales,which is mainly realized by upscaling method in the study of coal spontaneous combustion.From the point of view of mathematical modeling,it is pointed out that the essence of coal particle cluster is the representative elementary volume (REV) of the coal pile.The REV scale simulation,whose minimum unit is REV,is based on macro-model,which ignores the structural changes in the cluster.Correspondingly,the pore scale simulation,which considers the interaction of individual coal particles inside the REV,is based on micro-model.Secondly,based on the definition of the REV scale,the governing equations,including continuity,momentum,energy and concentration equations,which consider the effects of the transient porosity and high-temperature radiation,are built and the corresponding solving method is briefly described.Besides,it is pointed out that the parameters including porosity,permeability and heat transfer coefficient,etc.should be obtained from the pore scale simulation.Thirdly,the Lattice Boltzmann equations of pore scale simulation are discussed.A sample is employed to illustrate the procedures for the 3D digital reconstruction and the extraction of the REV.Finally,based on the constitutive relation of parameters between different scales,the upscaling method for obtaining parameters,such as porosity,permeability,inertia coefficient and convective heat transfer coefficient in macro-control equation,from the pore scale is proposed,which realizes the information transmission from the pore scale simulation with micro-model to the REV scale simulation with macro-model mathematically.Consequently,the multi-scale physical and mathematical modeling from pore scale to REV scale is completed.
Key words:coal spontaneous combustion;mesoscale;representative elementary volume;pore;upscaling
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梁运涛,王树刚,蒋爽,等.煤炭自然发火介尺度分析:从表征体元宏观模型到孔隙微观模型[J].煤炭学报,2019,44(4):1138-1146.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2019.0013
LIANG Yuntao,WANG Shugang,JIANG Shuang,et al.Analysis of mesoscale in coal spontaneous combustion:From macro-model of representative elementary volume scale to micro-model of pore scale[J].Journal of China Coal Society,2019,44(4):1138-1146.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2019.0013
煤炭作为我国主体能源，其安全生产直接关系到国民经济的平稳发展[1]。煤矿火灾严重制约煤炭企业的安全生产，其中煤自燃是引发煤矿火灾的最主要原因[2-3]。煤炭自然发火研究一直是煤矿安全领域世界范围的研究热点与难点。
国内外学者较早就从分子层面的物理化学过程开始研究和探索煤炭自然发火的原因。对于煤氧复合的微观反应历程，通常采用吸附理论和氧化反应来阐述，认为煤自燃是煤氧之间吸附反应和化合反应同时作用的结果[4-10]。随着现代科技的发展，红外光谱分析技术、电子顺磁共振光谱分析技术、核磁共振波谱分析技术等实验方法在煤自燃的研究中得到了日益广泛的应用，在分子层面对煤自燃过程开展了更深入的研究。基于分子结构理论，煤中有机大分子侧链基团和低分子化合物等活性基团是诱导煤自燃的物质，活性基团反应特性可为阐释煤炭微观自燃机理和自燃过程提供科学依据[11-15]。
除分子层面的物理化学反应影响外，煤岩自身的微观物理结构特征，如孔隙结构、表观结构等，直接影响低温氧化的发展过程[16-19]。基于颗粒聚团尺度的研究发现，不同粒度的煤样，比表面积不同，与煤样发生氧化反应的速度也不相同[20-22]，但是现有研究在关联微观特征与宏观特性方面存在不足。
在煤自然发火宏观模拟方面，通常采用多孔介质理论进行研究。以煤堆积体或煤自热实验装置为研究对象，考察介质孔隙率、粒径大小、外部风速等诸多因素对煤堆自燃过程的影响，分析煤自热过程中流场、温度场的分布和热点的迁移规律[23-28]。此外，还有针对采空区自然发火的多场耦合模拟研究[29-30]，巷道松散煤体自燃三维多场耦合模拟研究[31]，将流场、温度场、浓度场、应力场等进行耦合，从矿井尺度上研究煤自燃高温区域的发生及发展规律[32-34]。
综上所述，在煤自燃领域，既存在着从分子层面活性基团反应着眼的机理性研究，也存在着从煤颗粒聚团尺度的孔隙率、比表面积、粒径大小等角度出发的煤自燃氧化反应速度的研究，还存在着煤堆积尺度、采空区尺度、矿井尺度等的煤自燃火灾发生蔓延规律的研究，即煤炭自然发火存在着明显的多尺度现象。
煤炭自然发火源于煤分子尺度下的物理吸附、化学吸附和化学反应，但是否形成非控制燃烧主要取决于堆积煤体尺度下的高温区发生发展特性。因此，采用合适的方法将煤自然发火的微观机理与宏观变化特征相关联是煤自然发火领域的重要研究方向。在前期研究中，笔者[35]借鉴复杂系统理论和多尺度科学研究思路，提出煤自燃介尺度方法，定义了煤炭自然发火研究领域的介尺度(图1)，并探讨了描述型、关联型和极值型3种多尺度方法[36-37]在煤炭自然发火介尺度研究中的适用性。
笔者基于文献[35]提出的煤自燃介尺度方法，进一步阐述在介尺度II所在的堆积态煤体层次上所采用的建模方法。首先分析了尺度之间的关联和信息传递，从数学建模角度明确介尺度II(图1中的堆积态煤体层次)的本质和作用。其次论述了表征体元尺度宏观数学模型，结合煤自燃特性提炼出需要由孔隙尺度模型提供的重要参数。然后描述了孔隙尺度微观数学模型，用实例介绍了表征体元的物理建模和提取方法。最后提出从孔隙尺度到表征体元尺度参数上联的方法。
图1 煤自燃领域内的两个介尺度[35]
Fig.1 Two kinds of mesco-scales in coal spontaneous combustion[35]
从反应机理角度出发，介尺度II所在的堆积态煤体层次包含3个物理尺度，即煤颗粒尺度、颗粒聚团尺度和煤堆(或采空区、矿井)尺度，如图1所示。其中煤颗粒尺度和煤堆尺度称为边界尺度，特征易于表征和分析，研究相对成熟;煤颗粒聚团尺度介于煤颗粒尺度和煤堆尺度之间，是连接2个边界尺度的桥梁，称为介尺度。
不同尺度之间相互关联，存在信息传递。例如，煤颗粒聚团内部结构特征决定了煤堆的局部孔隙率、渗透率等宏观特征参数。同样的，煤颗粒聚团内颗粒表面特征、气固反应引起的骨架变化等决定了煤堆内部宏观对流与扩散的物理特征参数。由此可见，尺度之间正确的信息传递是多尺度模拟的前提，而且煤自燃领域尺度信息的传递主要是以“尺度上联”形式实现，即煤堆尺度下的数学模型准确性依赖于单煤颗粒尺度下信息的合理获取。
颗粒聚团的介尺度研究可以将单煤颗粒自燃特性与煤堆自然发火过程联系在一起。物理结构上煤堆由颗粒聚团组成，颗粒聚团则由单煤颗粒组成。从数学建模角度，为便于运用数学分析的连续函数工具，宏观上一般忽略复杂的煤堆积体内部孔隙结构，将煤堆积体视为满足基于连续性介质假定的多孔介质，其最小单元或研究单元的质点是由复杂的孔隙和骨架结构组成的煤颗粒聚团，即，颗粒聚团是组成煤堆的最小单元，聚团内部结构变化对物理过程的影响可以忽略，聚团整体的宏观物理量变化反映了聚团内众多煤颗粒在自燃过程中相互影响的净作用效果。基于此观点，可以认为煤颗粒聚团的本质就是煤堆(介质)分析中的表征体元。
以表征体元为最小单位的宏观模型称为表征体元尺度宏观模型。在表征体元尺度下，忽略聚团内结构变化，所采用的数值模拟方法是一种基于宏观数学模型的常规计算方法。表征体元尺度是一种比孔隙尺度大得多的尺度，在表征体元尺度下多孔介质内宏观物理量不再受到微观孔隙结构的影响，可以被视为一种连续介质。以孔隙率的确定为例，从多孔介质物理结构中取出极小一块区域测定其孔隙率，由于孔隙结构的随机性与特异性，当测定区域变化时，孔隙率数值将出现震荡。随着测定区域体积增大，这种震荡逐渐减小，直到某一体积，这种震荡消失，孔隙率不再受到孔隙结构随机变化的影响，此体积即称为表征体元。除孔隙率外，还可以定义出以表征体元为基本单位的宏观或表观流体物理量，如宏观密度、速度、温度和压力等[38-39]。
相对于表征体元宏观模型，以煤颗粒聚团(表征体元)为研究对象所建立的物理和数学模型，本文之称为孔隙尺度微观模型。孔隙尺度微观模拟考虑聚团内部孔隙结构、单煤颗粒相互影响、气固相互作用、煤颗粒热解变化等过程，需要建立孔隙或者骨架结构的物理模型。
基于上述分析可知，文献[35]提出的煤颗粒聚团这一介尺度做为桥梁将单煤颗粒和煤堆积体相关联。煤颗粒聚团既是宏观尺度模型的最小单元或表征体元，又是微观尺度模型的物理区域。出于计算效率和模型有效性的考虑，针对不同尺度建模往往选用不同的数学模型和计算方法[38]。
煤岩体是一种典型的多孔介质，表征体元尺度宏观控制方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和浓度方程。传统的宏观尺度数值计算方法往往基于连续性假设[40-41]，将煤岩体中的气体视为不可压缩流体，采用固定孔隙率、渗流达西定律、局部热平衡等假设。然而，煤自然发火过程会导致煤岩体温度不断升高，一方面热应力会引起煤岩体结构的变形，另一方面水分蒸发、原始吸附气体解析、煤热解等因素会导致煤的孔隙结构更为发达[13,42-43]，从而引起局部孔隙率的变化。这种瞬时孔隙率可以根据实验数据拟合出公式供宏观控制方程使用[31]。考虑这一特征的多孔介质质量守恒方程[44]为
(1)
其中，ε为孔隙率，与热解温度、空间位置有关;ρ为密度，kg/m3;V为表观速度，m/s;下标f为流体。在满足质量守恒的同时，煤岩体内的气体渗流还遵循动量守恒定律。考虑到煤矿井下存在着诸如裂隙、采空区等大孔隙率的区域，动量方程可采用Brinkman-Forchheimer 扩展形式达西阻力模型，则三维非稳态动量方程[41]可表示为
pf+
(2)
其中，μ为流体动力黏度，Pa·s;K为渗透率，m2;cF为惯性系数;p为压强，Pa。式(2)右边第1项为压力项，第2项为宏观黏滞阻力项，第3项为微观黏滞阻力(Darcy项)与惯性力项。
基于能量守恒，煤岩体内渗流过程中空气与煤岩固体各自的能量方程可以写为
T=·(ελfTf)+
ah(Ts-Tf)
3)
·[(1-ε)λsTs]+
(1-ε)qs+F-ah(Ts-Tf)
(4)
其中，下标s和f分别为固体和流体;T为温度，K;C和Cp分别为固体比热和流体定压比热，J/(kg·K);t为时间，s;h为对流换热系数，W/(m2·K);a为流固相互作用面积密度，m-1;λ为导热系数，W/(m·K);F为辐射通量向量，W/m2;qs为固体生热项，W/m3。如果考虑煤岩体内渗流速度较低，空气与煤岩体可以进行充分换热，假定流体温度与煤岩体温度一致(即Tf=Ts=T)，则传热方程[41]可表示为
T=
·(λmT)+(1-ε)qs+F
(5)
其中，下标m为体积平均。式(5)左边第1项为单位时间内的能量积累效应，第2项为对流传热项;右边第1项分别为导热传热量，第2和3项为内部产热量和辐射热量。qs与煤氧反应过程有关，可计算[41]如下:
其中，c(O2)为氧气物质的量浓度，mol/m3;k0为指前因子，1/s;E为活化能,J/mol;R为气体常数，J/(mol·K);n为反应级数;ΔH为煤氧化学反应过程中生热量，J/mol O2，可通过煤样实验获得;sv为形状因子。当煤岩体局部温度高于一定数值后，辐射通量F不可忽略。辐射通量计算有各种不同的方法，对于煤岩体可以选用较为简单的近似处理方法，辐射传热被近似处理成为一个扩散过程，类似于热传导，计算[45]如下:
F=βRT3T=λrT
式中，βR为常数，W/(m·K4);λr为辐射导热系数，W/(m·K)。
煤岩体内气体物质浓度方程[41]可表示为
)Yi=·(εDiYi)+εSi
式中，Yi为物质浓度，kg/m3;Di为动力弥散系数，m2/s;Si为生成/耗散项，kg/(m3·s)。
在上述方程中，孔隙率初始分布与空间位置有关，比如采空区采动影响下，由于压实程度不同而呈现随空间变化的特征[33]。对于煤岩体的缓慢升温过程，其局部孔隙率变化与煤种、热解温度有关，实践中可采用实验的方法，在给定煤样的情况下进行升温热解实验，通过电镜扫描表面或者工业CT扫描内部结构的方法获取局部孔隙率与热解温度的关系式。依次求解连续性方程、动量方程和能量方程，当温度场发生变化时更新局部孔隙率，从而获取孔隙率变化时的流场及温度场。式(3)和(4)中的对流换热系数h、式(2)中的渗透系数K和惯性系数cF可以通过传统的实验测试/经验公式获取，也可以通过孔隙尺度的微观方法模拟获取。
孔隙尺度下，煤颗粒聚团内部结构具有强烈非均质特性，基于连续性假定的数值方法不能有效地解决此问题，因此需要基于离散方法的数值算法，将多孔介质表示为离散单元，比如孔隙网络模型或格子Boltzmann方法(LBM)[38]。在煤微观结构的渗流研究中，由于多孔介质的孔隙极度不规则，当介质骨架作为流场边界时，传统流体计算方法在模拟时对于边界处理较为困难，而LBM的粒子背景使之可以方便、高效地处理这种具有复杂边界的流场[39]，并得到了成功应用[46]。孔隙尺度微观数学模型包含用于计算孔隙内流动的标准LBM模型和计算含内热源的热格子玻尔兹曼模型，具体方程[38]如下:
(9)
gi(x+eiδt,t+δt)-gi(x,t)=
(10)
式中，fi和
分别为离散密度分布函数和相应的局部平衡态分布函数;cs和τu为格子声速和无量纲松弛时间;x为格子上的一个格点;ei和wi为离散速度和权系数;gi和
分别为内能分布函数和相应的平衡态分布函数;τg为与热传导系数相关的松弛时间;Si为离散的内部发热源项，可采用文献[38]推荐的公式。
格子Boltzmann方法的边界处理需要根据已知的宏观条件确定相应边界点上相应分布函数的取值，目前已发展出启发式格式、动力学格式、外推格式等多种边界处理格式，其中启发式格式中的各类反弹格式操作简单，特别适用于复杂的不规则边界的处理，使得LBM在模拟包含复杂孔隙结构的多孔介质流动及传热方法具有较大优势并得到了大量的应用[38-39,47]。
3.2.1 孔隙结构生成
孔隙尺度的模拟需要了解固体骨架的详细信息，一般有两种构造煤岩体多孔介质物理结构的方法。一种是人工生成方法，有球体沉降法[48]、硬球Monte-Carlo方法[49]、分数布朗运动法[50]、四参数随机生长(QSGS)方法[51]等，其中QSGS方法在孔隙尺度的LBM研究中应用较多[46,52-55]。QSGS的基本方法是首先在空间中布置一定数量的生长核，然后在生长核的基础上以不同的概率向空间不同方向生长，重复此过程直到所在相的孔隙率满足要求。图2是利用该方法生成的二维多孔介质结构。
图2 使用QSGS方法生成的多孔介质结构(200像素×200像素)[56]
Fig.2 Schematics of the generated porous structures using QSGS method in 200 grids×200 grids[56]
构造煤岩体多孔介质物理结构的另一种方法是使用CT显微断层扫描技术对其进行扫描与重构。微米量级分辨率的工业CT扫描技术在岩石孔隙成像领域有广泛应用，但在煤自然发火领域应用较少。一种立式旋转的工业CT设备基本原理如图3所示[57]，样品被固定于CT工作仓内的可旋转操作台上，微焦点X光源固定，样品沿水平面方向匀速旋转360°以获得整体样品的透视图像，扫描完成后，对图像进行分解获得所有断层的二维层析图像。本文以活性炭试样的扫描图像为例，说明根据CT显微断层扫面图像计算多孔介质孔隙率及提取表征体元的基本步骤。
图3 CT扫描成像原理示意[57]
Fig.3 Schematic of scanning and imaging[57]
利用工业CT对多孔介质扫描后可得到沿某一方向有序排列的显微断层图像。这些图像是根据多孔介质内孔隙与固体骨架对X射线吸收率不同得到的0～255阶像素的灰度图，其中图4(a)是自然堆积下的活性炭试样经过CT扫描后获得的一幅断面图像[58-59]。首先，对图像进行灰度直方图均衡化处理，重新分配像素值，使得一定灰度范围内的像素数量大致相同，增强图像中孔隙与固体骨架之间的对比度[57];其次，对图像进行必要的降噪、滤波和平滑处理，避免图像生成过程由于噪声的引入对辨别孔隙形状结构造成障碍[60]。经过灰度直方图均衡化处理及均值滤波器平滑处理后，获得如图4(b)所示灰度图;再次，选定阈值，对图像进行二值化处理，将图像中每个像素标记为“0”或“1”，其中“0”表示固体，“1”表示孔隙。为了避免图像边界处噪声以及堆积多孔介质中壁面附近的边界效应[61]对分析孔隙结构产生影响，选取图4(b)中矩形区域，利用大律算法(Otsu’s method)计算出背景与目标之间方差最大的阈值，对图像进行阈值分割，获得如图4(c)所示的二值图像。最后，将二值图片导入MATLAB中得到二维矩阵，二值矩阵中的元素与数字二值图像中的像素一一对应，利用cat函数将一系列二维矩阵重构成为三维重构矩阵，根据三维重构矩阵构建的试样重构模型如图4(d)所示。
图4 活性炭试验显微断面图及其图像处理
Fig.4 CT images of an activated carbon sample and corresp- onding processed images
3.2.2 表征体元结构提取
生成孔隙结构后，为了计算试样孔隙率并提取其三维表征体元，对三维重构矩阵进行两点相关性分析，多孔介质内任意两点的相关函数可以表示[62-63]为
S2(r)=<f(x)f(x+r)>
(11)
其中，<>为沿坐标轴方向的体积平均;r为多孔介质内任意两点的距离;f(x)为一个结果为0或1的特征函数。对于多孔介质来说，当x处于孔隙时，f(x)=1;反之，f(x)=0。两点相关函数可以定量地表征多孔介质的孔隙结构，其物理意义可以理解为重构矩阵中任意两个距离为r的点同时处于孔隙相的概率。图5是试样重构矩阵的两点函数计算结果。当r=0时，两点相关函数计算结果表示重构矩阵的孔隙率φ(φ=0.45);随着r逐渐增大，其两点相关函数值快速下降，在r=50时，两点相关函数值为0.21;当r进一步增大，相关函数计算结果基本不变，稳定在0.20附近。因此，可以将50像素作为表征体元基本尺寸。当基本尺寸大于50时，表征体元中孔隙结构具有相同的宏观统计学性质;而当尺寸小于50时，表征体元中孔隙结果的宏观特性随表征体元尺寸大小的改变而变化。
图5 活性炭试验两点自相关函数计算结果
Fig.5 Two-point correlation function for the pore phase of the active carbon
从尺度间内在关联角度来说，多尺度模拟方法中关联型方法的核心思想是由小尺度描述为上一个尺度提供本构关系，即不同尺度模型间参量的提炼与传递。基于孔隙尺度微观数学模型的计算结果，提炼宏观参数，获取渗透率、孔隙率、努谢尔特数、雷诺数、普朗特数等之间的关系式，可以用于表征体元尺度宏观数学模型的求解。
(1)孔隙率。
煤岩体缓慢升温过程中孔隙率随温度而变化。使用马弗炉对特定煤样进行升温实验，冷却后通过电镜扫描表面方法可获取局部孔隙率空间分布与温度的关系式;或采用工业CT扫描的数字重构方法，以精确获取煤岩体升温后的内部结构特征变化，局部孔隙率的变化如式(12)所示。
ε=f(x,y,z,T)
(12)
(2)渗透率和惯性系数。
对于特定的孔隙结构，给定不同的压差条件，先计算通过煤岩多孔介质内的流速。再根据扩展达西定律(式(13))，由多组模拟得到的计算结果，利用数学方法获得渗透率K和惯性系数cF的具体数值，将这些数值带入到式(2)中可以进行基于连续介质假定的宏观渗流场的计算。如果考虑孔隙率变化对这两个参数的影响，则通过给定不同的孔隙结构来获取不同的计算结果。煤岩体孔隙结构的构造，可以通过人工生成方法或者工业CT扫描的方法。
(13)
(3)对流换热系数。
针对特定的孔隙结构，根据温度场的模拟计算结果，得到流固之间的对流换热系数，用于局部非热平衡控制方程的计算。一般来说可通过无量纲准则数之间的关系来构建方程，努谢尔特数可以表示为雷诺数、普朗特数和孔隙率的函数，如式(14)所示:
(14)
(1)基于煤炭自然发火的介尺度特性，从数学建模角度，提出煤颗粒聚团(介尺度Ⅱ)的本质就是煤堆的表征体元，明确了颗粒聚团的物理边界，分析了表征体元内结构对于传热传质及反应过程的影响，实现了介尺度Ⅱ所在堆积态煤体层次的研究问题、物理模型和计算方法在结构上的一致性。
(2)建立了考虑瞬时孔隙率和高温辐射换热特征的表征体元尺度宏观数学模型和考虑内部孔隙结构的微观模型。基于工业CT扫描和数值重构获得了煤颗粒聚团内的真实孔隙形态，量化了三维表征体元的尺寸。
(3)考虑表征体元内煤岩结构特征变化，利用不同尺度之间参数的本构关系，提出从孔隙尺度获取宏观控制方程中孔隙率、渗透率、惯性系数和对流换热系数的尺度上联方法，从数学上实现了孔隙尺度微观模型到表征体元尺度宏观模型之间的信息传递，为进一步获得精确的物质输运规律提供前提。
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