煤体基质是一种典型的非均质多孔材料，其内部含有大量复杂的微观孔隙。由于煤体中各点的热膨胀系数存在差异，当温度变化时，煤体内部产生热膨胀附加应力，使处于临界受力平衡状态的微裂纹源发育，形成热开裂。尽管煤体基质中的孔隙缺陷尺寸微小，但其分布众多，是煤体中孕育微观断裂的受力集中点，同时是导致材料宏观破坏的薄弱点[1-4]。一系列的研究表明，煤岩体的热开裂损伤是一种普遍现象，不论加热方式如何、加热速率多大，对岩石材料加热均会产生损伤[5-6]。
温度变化导致煤体基质热开裂对煤的微观结构和渗流行为具有重要影响，国内外学者开展了大量研究。苏承东等[7]通过试验发现当煤岩温度升高时，样品内的裂纹密度增大。刘均容等[8]进一步揭示，1 ℃的温度变化可在岩石内产生约0.5 MPa的热应力，当应力积累超过岩石自身的某些界限时，将引起内部结构发生变化。孟巧荣等[9]和于艳梅等[10]分别对褐煤和瘦煤进行了热处理，并开展了CT扫描试验，结果表明，当温度上升到100 ℃左右时，瘦煤内部产生微裂纹，而褐煤则由于失水干缩仅大于800 μm的大裂隙得以发育。于庆磊等[11]基于数字图像处理技术表征了岩石内部矿物颗粒的几何形态，并结合细观损伤力学和热弹性理论，建立了岩石热-力耦合破裂过程的数值模型。康建等[12]考虑不同的岩石细观组构，建立了随机非均匀介质岩石的热弹性力学模型，并给出了相应的有限元分析方法。严成增[13]建立了FDEM-TM方法，对圆筒试样在2种不同温度边界条件下的热破裂过程进行了分析。王登科等[14]通过对比重建的煤样裂隙结构三维立体模型，研究了温度冲击下的煤体裂隙结构演化与渗透率增大行为。发现温差较小时，初始裂纹扩展加宽，新生裂纹较少;随着温差增加，煤样热开裂程度愈发严重，开始扩展萌生新的次生裂隙，从而增加了煤体中瓦斯的流动路径。赵阳升等[15]开展了岩石热破裂与渗透性相关性的试验研究，发现随着温度的升高，岩石的渗透率出现多个峰值段，声发射平静期滞后出现渗透率相对降低区，随着声发射剧烈期出现次数的增加，渗透率愈来愈大。TENG等[16]基于热开裂试验现象总结，在推导煤层气注热开采渗透率模型时，尝试阐述了煤体热开裂的物理过程，并纳入到了渗透率模型。
综上所述，尽管对煤岩体的热开裂现象与增透行为已经开展了大量研究，但是针对煤体基质热开裂的基础理论及其与基质渗透率改善之间关联性的研究还不足。笔者结合经典断裂力学与岩石分形理论，构建了煤体基质热开裂的理论模型，推导了热开裂与增透率之间的关联性，并通过压汞实验验证了基质热开裂现象。研究内容为非常规天然气热采、深部煤炭流态化开采与地下煤炭气化等工程应用提供借鉴。
1 煤体基质的热开裂模型
1.1 单一微裂纹源的热开裂
首先来分析煤体基质中单一微裂纹源(活化点)的热开裂问题。如图1所示，假设空间有1条平衡主裂纹P，在其包围区外有一条半径为rc的半饼状单一微裂纹源C，其表面受均布载荷
其极坐标位置为(r,φ)。由断裂力学可知，平衡主裂纹P在微裂纹源表面形成的拉应力
等于微裂纹表面所受的均布载荷[17]，即
(1)
式中，
为主裂纹尖端的应力强度因子;
为微裂纹扩展方向与x轴正向之间的偏转角度，逆时针为正;ν为泊松比。
图1 平衡主裂纹P及其包围区外的单一半饼状微裂纹源C
Fig.1 Balanced principal crack P and a half-pie crack in its surrounding area C
当煤体温度发生变化时，产生热膨胀应力，则微裂纹C处的总应力表示为
(2)
其中，σRT为总的热膨胀应力，其表达式可以进一步写成:
(3)
其中，E为煤体基质平均弹性模量;αT为煤体热膨胀系数;ΔT为温度增量;ΔαT为体积热膨胀系数离散性差值，表征煤体基质在不同方向上热膨胀能力的差异性。式(3)中右侧第1项σR=EαTΔT表示热膨胀应力，右侧第2项σ′R=EΔαTΔT/[2(1+ν)]表示热膨胀各向异性力。
式(3)可以写成:
(4)
可见，煤体的热膨胀变形与温度增量之间存在线性关系，这与传统的理论认知相同[18-19]，但是需要注意的是煤体总的热膨胀由两部分组成，即煤体总的热膨胀系数αRT可以表示为
(5)
由断裂力学知，当温度变化ΔT后，裂隙的应力强度因子为
(6)
微裂纹起裂的临界条件是裂纹的应力强度因子等于材料的断裂韧度，即
(7)
式中，S0为含有单一裂隙煤体基质单元的断裂韧度,MPa。
记
即将拉应力和均匀热膨胀应力结合，并将式(4)代入式(6)，可知单一微裂纹源热开裂的临界尺寸为
(8)
由于煤的实际结构复杂，含有大量的微裂纹，煤的材料韧度是一个平均化的宏观概念，这里利用煤体基质的平均韧度
来近似表征一类煤的平均状态。若只考虑温度变化引起的热膨胀失配应力的影响，则微裂纹热开裂的临界尺寸为
(9)
式(9)表明随着温度变化梯度的增大，煤中微裂纹的临界尺寸减小，即微小的裂纹更趋向于打破临界平衡状态从而开裂与发育。
1.2 裂纹云的分形描述
分形几何主要是通过分维数和无标度区间两个参数来描述统计学中的自相似特征，自创立后便被引入到岩石力学的研究领域，并被用来表征煤岩孔隙结构与破碎方法[20-21]。
温度变化引起的基质热开裂与煤中的原生微裂纹、孔隙和孔洞在煤中形成空间分布的微裂纹云。在微裂纹云中，裂纹个数繁多，大小不一，而且形态各异，很难对其一一做出准确的空间定位和几何描述，更不能有效地逐一计算，但这些微裂纹在尺寸、形态和空间分布上具有一定的统计自相似性，分布规律如图2所示。
图2 煤体基质中多孔结构的自相似性
Fig.2 Fractal self-similarity of pore structure in coal matrix
为了简化分析，本文从宏观角度引入孔径分形维数的概念用来描述微裂纹的尺寸分布特征，从微观角度引入微裂纹特征尺寸的概念用来表征单一的微裂纹，即1个特征尺寸对应1类微裂纹，1个孔径分形维数对应1种状态下煤体中的裂纹分布。
根据几何尺寸的自相似性，微裂纹在特征尺寸上满足[22-23]:
Nl=Nl0(l/lmax)-Df
(10)
式中，l为微裂纹的特征尺寸;lmax为煤中微裂纹特征尺寸的最大值;Nl0为具有最大特征尺寸的微裂纹数量;Nl为具有特征尺寸大于l的微裂纹个数;Df为稳定状态下煤中微裂纹分布的孔径分形维数。
式(9)左右对l求导，得特征尺寸在l和l+dl之间的微裂纹数量为
(11)
其中，负号表明随着特征尺寸的减小，微裂纹的数量增多，即小裂纹的数量多于大裂纹的数量。
2 基质热开裂与增透行为关联性
用变量Vm表示煤基质块的体积，则煤的基质孔隙度表示为
(12)
式中，Vmpi为基质中第i个微孔的体积。
根据微孔特征尺寸能够表征微孔几何特征的概念，微孔的体积与特征尺寸之间必然有一定的关系。为了简化计算，假设微孔为类似球形结构，则煤中第i个微孔的体积可以用特征尺寸li表示为
(13)
对式(13)基质中微孔的特征尺寸进行积分，得
(14)
式中，
为微孔分布有关的参数，可以通过实验测试。
根据孔隙度的定义，煤的基质孔隙度可以利用微孔特征尺寸的分形维数作为中间量表示为
(15)
或
(16)
式中，ϖ=ηDf/(η0Df0)；下标“0”表示相关变量的初始值。
张玉涛和NAKAGAWA等[23-24]的研究表明，在一定范围内(200 ℃以内)，煤基质中孔隙尺寸的分形维数与温度增量之间存在线性关系:
Df=Df0+λT(ΔT/T)
(17)
式中，λT为分形维数和温度变化之间的系数;Df0为初始情况下的基质分形维数。
把式(17)代入式(16)，化简得热开裂影响下的基质孔隙度为
(18)
其中，θ=λT/[(3-Df0)T0]为热开裂材料常数，可通过微观实验室测得。式(18)表明，热开裂导致煤体基质的孔隙度增大。
根据TENG等[25]的研究结果，煤体介质的渗透率与孔隙度大小之间近似满足立方定律:
(19)
其中，k为煤体的基质渗透率;k0为初始基质渗透率。结合式(18)和(19)，得
(20)
定义热开裂引发的基质渗透率增透因子DT(简称热开裂增透因子)为
(21)
图3为不同热开裂系数煤体的基质渗透率增透因子随温度增量的演化关系。从图3可以看出，随着温度梯度的增大，基质的渗透率增透因子增大，表明煤体热开裂越加明显，基质渗透率增透效果也就越大。同时基质热开裂系数越大，热开裂引起的基质渗透率增透也就越大。
图3 基质热开裂增透因子随温度变化的演化规律
Fig.3 Evolution of coal matrix permeability enhancement factor with increasing temperature
3 热开裂现象的实验验证
3.1 压汞实验方案
压汞实验是测量煤岩等多孔介质材料中孔隙结构特征的常用方法[26]。本文采用中国矿业大学Auto Pore Ⅳ9510型全自动压汞仪分别对平顶山矿和金佳矿的煤样进行微孔特征测试。实验测试前严格按照要求制备原煤样品，将煤样品放入烘干箱，并缓慢加热到25，50，75和100 ℃，保持温度恒定24 h，取出样品密封并自然冷却至室温，随后开展压汞实验。在原煤的烘干过程中，煤体基质发生不可逆的热开裂现象。
3.2 热开裂导致基质孔隙度增大
图4为平顶山煤样和金佳煤样孔隙度随处理温度的变化曲线。测试结果显示，金佳煤样的孔隙度大于平顶山煤样，约为后者的3倍。从图4中可以看出，当煤样处理温度由25 ℃增大到100 ℃，金佳煤样的孔隙度增大12.7%，平顶山煤样增大29.5%。尽管金佳煤样的初始孔隙度较大，但热开裂引起的孔隙度增量较小，分析其原因为金佳煤样的热膨胀系数较小，相同温度增量下的热应力较小。
图4 孔隙度随温度的变化曲线
Fig.4 Porosity curves with temperature
3.3 热开裂导致基质孔隙尺寸增大
图5,6分别为经过不同温度处理后的平顶山矿煤样和金佳矿煤样的孔容和孔径之间的关系。从图中可以看出平顶山矿煤样中，孔径小于0.1 μm和大于30 μm的微孔所占比例较多，随着预处理温度的升高，后者的体积增量变大。反观金佳矿煤样，以尺寸小于1 μm的微孔为主，随着预处理温度的升高，微孔的体积增量明显增大，而且逐步向更小尺寸的微孔过渡。说明温度越高，热开裂越明显，越容易形成更小的微孔。为了定量的表征热开裂对微孔结构的影响，以下将根据压汞数据计算孔径的分维数。
图5 不同温度处理下平顶山矿煤样微孔孔径分布
Fig.5 Pore size distribution of treated Pingdingshan coal by different temperature
图6 不同温度处理下金佳矿煤样微孔孔径分布
Fig.6 Pore size distribution of treated Jinjia coal by different temperature
图7 孔径分维数随温度变化的实验数据与拟合曲线
Fig.7 Experimental data and fitting curve for the relationship between pore size fractal dimension and temperature change
图7为热开裂影响下煤中微孔的孔径分形维数与温度增量之间的关系，其中散点为实验数据，直线为根据式(17)的线性拟合曲线。图7(a)，(b)为以上自主开展的压汞实验测试结果，样品分别为平顶山矿煤样和金佳矿煤样。图7(c),(d)中的实验数据参考张玉涛[23]和NAKAGAWA等[24]的研究。观察图7，可以看出孔径分维数和温度增量之间近似满足线性关系，实验结果与式(17)所描述的理论结果具有较好的匹配性，这说明温度升高引发的热开裂对煤中微孔的发育具有促进作用，即，温度变化越大，热开裂越明显，越容易形成微孔。
4 讨 论
(1)煤岩体的热开裂损伤是一种普遍现象[5-6]，温度变化越大，热开裂现象越明显[27]。本文探讨的温度范围为室温到100 ℃，主要排除了热处理过程中的化学变化。工程问题中煤岩体温度的大范围变化，都要经历一个由低温到高温转化的过程，因此从断裂力学与物理学角度建立的煤体热开裂增透模型具有基础作用。
(2)文中介绍4组热开裂试验，数据结果均验证了本文理论模型。由于煤体的煤质及其结构具有很大差异，很难逐一验证，但从逻辑上都可按照本文建模思路，优化式(17)，进而建立煤体热开裂与渗透率激增之间的定量关系。
5 结 论
(1)建立了煤体基质中单一微裂纹源热开裂的细观断裂力学模型，并推导了基质热开裂的临界裂纹尺寸，发现煤体温度变化越大，热开裂临界裂纹尺寸越小，即越小裂纹越趋向于发育。
(2)引入微裂纹特征尺寸和孔径分形维数，对单一微裂纹、裂纹云分别进行描述，建立了微裂纹云的分形表征方法;以球形微孔为例，定义了煤体基质热开裂增透因子，用以定量表征基质热开裂导致渗透率的激增效果。
(3)针对温度处理后的平顶山矿、金佳矿煤样，分别开展压汞实验，进一步证实了煤体基质孔隙度随处理温度的增大而增大，孔径分形维数随处理温度线性增大，试验结果对理论推导过程具有支撑作用。
[1] 靳佩桦,胡耀青,邵继喜,等.急剧冷却后花岗岩物理力学及渗透性质试验研究[J].岩石力学与工程学报,2018，37(11):137-145.
JIN Peihua,HU Yaoqing,SHAO Jixi，et al.Experimental study on physico-mechanical and transport propertiesof granite subjected torapid cooling[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2018,37(11):137-145.
[2] 刘秋卓,雷瑞德.砂岩热损伤微观结构与宏观物理特性演化规律研究[J].隧道建设,2019,39(1):75-80.
LIU Qiuzhuo,LEI Ruide.Study of evolution characteristics of microstructure and macroscopic physical properties of sandstone thermal damage[J].Tunnel Construction,2019,39(1):75-80.
[3] 薛东杰,胡本,方园,等.热力耦合路径下花岗岩细观破裂特征及数值分析[J].煤炭学报,2016,41(9):2212-2222.
XUE Dongjie,HU Ben,FANG Yuan,et al.Paths on thermal-mechanical coupling failure of meso-scale granite under uni-axial tension and numerical analysis[J].Journal of China Coal Society,2016,41(9):2212-2222.
[4] ZHAO Yang,ZHOU Hongwei,ZHONG Jiacheng,et al.Study on the relation between damage and permeability of sandstone at depth under cyclic loading[J].International Journal of Coal Science & Technology,2019,6(4):479-492.
[5] 谢建林,赵阳升.随温度升高煤岩体渗透率减小或波动变化的细观机制[J].岩石力学与工程学报,2017,36(3):543-551.
XIE Jianlin,ZHAO Yangsheng.Meso-mechanism of permeability decrease or fluctuation of coal and rock with the temperature increase[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2017,36(3):543-551.
[6] 赵亚永,魏凯,周佳庆,等.三类岩石热损伤力学特性的试验研究与细观力学分析[J].岩石力学与工程学报,2017,36(1):142-151.
ZHAO Yayong,WEI Kai,ZHOU Jiaqing,et al.Laboratory study and micromechanical analysis of mechanical behaviors of three thermally damaged rocks[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2017,36(1):142-151.
[7] 苏承东,韦四江,秦本东,等.高温作用对 3 种砂岩物理参数特征的影响分析[J].地下空间与工程学报,2018,14(2):341-348.
SU Chengdong,WEI Sijiang,QIN Bendong,et al.Research on physical parameters of three kind if sandstone after high temperature[J].Chinese Journal of Underground Space and Engineering,2018,14(2):341-348.
[8] 刘均荣,吴晓东.热处理岩石微观实验研究[J].西南石油大学学报(自然科学版),2008,30(4):15-18.
LIU Junrong,WU Xiaodong.Microscopic experiment of thermal threated rock[J].Journal of Southwest Petroleum University (Science & Technology Edition),2008,30(4):15-18.
[9] 孟巧荣,赵阳升,胡耀青,等.褐煤热破裂的显微CT实验[J].煤炭学报,2011,36(5):855-860.
MENG Qiaorong,ZHAO Yangsheng,HU Yaoqing,et al.Micro-CT experimental of the thermal cracking of brown coal[J].Journal of China Coal Society,2011,36(5):855-860.
[10] 于艳梅,胡耀青,梁卫国,等.瘦煤热破裂规律显微CT试验[J].煤炭学报,2010,35(10):1696-1700.
YU Yanmei,HU Yaoqing,LIANG Weiguo,et al.Micro-CT experimental research of lean coal thermal cracking laws[J].Journal of China Coal Society,2010,35(10):1696-1700.
[11] 于庆磊,郑超,杨天鸿,等.基于细观结构表征的岩石破裂热-力耦合模型及应用[J].岩石力学与工程学报,2012,31(1):42-51.
YU Qinglei,ZHENG Chao,YANG Tianhong,et al.Meso-structure characterization based on coupled thermal-mechanical model for rock failure process and applications[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2012,31(1):42-51.
[12] 康健,赵明鹏,赵阳升.随机非均质热弹性力学模型与岩石热破裂门槛值的数值试验研究[J].岩石力学与工程学报,2004,23(14):2331.
KANG Jian,ZHAO Mingpeng,ZHAO Yangsheng.Random non-homogeneous thermal elastic mechanics model and numerical tests on thermal cracking threshold of rock[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(14):2331.
[13] 严成增.FDEM-TM方法模拟岩石热破裂[J].岩土工程学报,2018,40(7):1198-1204.
YAN Chengzeng.Simulating thermal cracking of rock using FDEM-TM method[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2018,40(7):1198-1204.
[14] 王登科，张平，浦海，等.温度冲击下煤体裂隙结构演化的显微CT实验研究[J].岩石力学与工程学报,2018,37(10):2243-2252.
WANG Dengke,ZHANG Ping,PU Hai,et al.Experimental research on crack evolution of coal under temperature impact based on industrial Micro-CT[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2018,37(10):2243-2252.
[15] 赵阳升,万志军,张渊,等.岩石热破裂与渗透性相关规律的试验研究[J].岩石力学与工程学报,2010,29(10):1970-1976.
ZHAO Yangsheng,WAN Zhijun,ZHANG Yuan,et al.Experimental study of related laws of rock thermal cracking and permeability[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2010,29(10):1970-1976.
[16] TENG T,WANG J G,GAO F,et al.A thermally sensitive permeability model for coal-gas interactions including thermal fracturing and volatilization[J].Journal of Natural Gas Science & Engineering,2016,32:319-333.
[17] WU H,ZHANG P,DONG S,et al.Brittleness index analysis of coal samples[J].Acta Geophysica,2019:1-9.
[18] ZHU W C,WEI C H,LIU J,et al.A model of coal-gas interaction under variable temperatures[J].International Journal of Coal Geology,2011,86(2-3):213-221.
[19] WU Yu,LIU Jishan,CHEN Zhongwei,et al.A dual poroelastic model for CO2-enhanced coalbed methane recovery[J].International Journal of Coal Geology,2011,86(2-3):177-189.
[20] 谢和平.分形几何及其在岩土力学中的应用[J].岩土工程学报,1992(1):14-24.
XIE Heping.Fractal geometry and its application to rock and soil materials[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,1992(1):14-24.
[21] BALANKIN A S,ELIZARRARAZ B E.Map of fluid flow in fractal porous medium into fractal continuum flow[J].Physical Review E,2012,85(5):056314.
[22] ZHU Q Y,XIE M H,YANG J,et al.A fractal model for the coupled heat and mass transfer in porous fibrous media[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2011,54:1400-1409.
[23] 张玉涛,王德明,仲晓星.煤孔隙分形特征及其随温度的变化规律[J].煤炭科学技术,2007,35(11):73-76.
ZHANG Yutao,WANG Deming,ZHONG Xiaoxing,et al.Features of fissure sharp in coal borehole and variation law with temperature[J].Coal Science and Technology,2007,35(11):73-76.
[24] NAKAGAWA T,KOMAKI I,SAKAWA M,et al.Small angle X-ray scattering study on change of fractal property of Witbank coal with heat treatment[J].Fuel,2000,79(11):1341-1346.
[25] TENG T,XUE Y,ZHANG C.Modeling and simulation on heat-injection enhanced coal seam gas recovery with experimentally validated non-Darcy gas flow[J].Journal of Petroleum Science and Engineering,2019,177:734-744.
[26] 顾熠凡,王兆丰,戚灵灵.基于压汞法的软、硬煤孔隙结构差异性研究[J].煤炭科学技术,2016,44(4):64-67.
GU Yifan,WANG Zhaofeng,QI Lingling.Study on porous structure difference of soft coal and hard coal based on mercury intrusion method[J].Coal Science and Technology,2016,44(4):64-67.
[27] 李波波,杨康,许江,等.考虑温度作用下煤岩渗透特性及吸附膨胀的试验研究[J].煤炭学报,2018,43(6):1761-1768.
LI Bobo,YANG Kang,XU Jiang,et al.Experimental study on permeability characteristics and adsorption swelling of coal considering temperature effect[J].Journal of China Coal Society,2018,43(6):1761-1768.
