自然油气储层中孔隙和孔喉有机耦合的现象广泛存在[1]，与此同时由于成因多样导致这些要素的分布可能表现出尺度不变特征[2-3]。探明孔隙结构复杂几何对油气的赋存和运移行为的控制作用，是实现其储层产能定量评估的基本保障[4-8]。当然其前提是有效标定分形孔隙结构的基本类型并定量表征其组构模式。
新近出现的分形拓扑理论表明尺度不变对象是一种双复杂系统，即由相互独立的原始复杂性与行为复杂性组构而成[9-11]。据此，孔隙-孔喉分形多孔介质当属此类系统，且由于尺度不变属性的基本要求，孔隙-孔喉互存模式不随尺度的变化而变化。综上所述，该类孔隙空间中，孔隙-孔喉互存结构属于原始复杂性，而它们分形分布特征则为行为复杂性。因此，定量描述这两类复杂属性是实现孔隙-孔喉分形多孔介质中多类型共存、多尺度分布孔隙结构定量表征的根本。
孔隙-孔喉分形多孔介质中，孔隙的分布表现出颗粒填充的特点，孔喉构型则是一种网络模型。因此，该类孔隙结构的原始复杂性属于“颗粒-网络”型耦合模式。当前，对储层中多类型孔隙耦合的原始复杂性表征模型主要有毛细管束模型、颗粒填充模型以及网络模型等。毛细管束模型将孔喉理想化为平行无交叉圆柱形管束[12]，这与真实孔隙结构中孔隙和孔喉互存且连通的客观实际相悖;颗粒填充模型，如Menger海绵体和四参数随机生长模型(QSGS)等，能够容易地实现孔隙随机分布特征的模拟[13-18]，但是无法表征储层孔喉网络中“低渗高连通”的特点;网络模型在描述复杂孔隙结构中孔喉的随机、低渗高连通等方面的优势明显[19-21]，但很难实现孔隙-孔喉耦合所致的颗粒-网络型原始复杂性的等效表征。因此实现孔隙-孔喉互存的原始复杂性的定量表征需要发展新方法。与此同时，由于成因多样，自然储层中孔隙尺度的分布往往会表现尺度不变特征[22-23]，而分形理论的出现为这种复杂孔隙结构的描述提供了有力的工具和手段[24]。AVNIR等[25]用分子吸附法最早指出储层中孔隙存在分形现象;KROHN等[26]发现砂岩、页岩和碳酸盐岩中孔径为0.2～5.0 μm的孔隙通常表现出良好的分形特征;赵爱红等[27]用压汞法测量出的煤孔隙的比孔容，进而计算分形维数，从而提出了煤孔隙结构的分形定量研究方法;谢和平[28]讨论了岩土介质的分形孔隙和分形粒子的分形模型及分形量测方法;FU等[29]利用Menger模型揭示了我国146个煤样的分形特征，并根据分形维数对纳米孔进行了定量分类;之后，YAO和CAI等[30-31]对煤中分形现象开展了有针对性的研究。
以上方法为储层物性的定量评估提供重要的支持，但对复杂孔隙结构的定量表征贡献有限。因为这些研究多关注行为复杂性的量化，即采用经典的数量-尺度模型(Rns)来获取分形维(D)，却很少关注分形行为的定义。分形拓扑理论表明分形维与分形行为之间是一对多的关系，而分形行为惟一确定分形维[9-10]。因此仅仅依靠一个单独的D是无法惟一确定孔隙的分形分布的。很显然，分形行为决定着孔隙结构的尺度分布特征，更是分形孔隙结构中行为复杂性定量和等效表征的基础。
基于以上认识，笔者依据新近出现的分形拓扑理论将孔隙结构标定为双复杂系统，其中将孔隙和孔喉多类型耦合体定义为原始复杂性，而它们的尺度不变分布特征则界定为行为复杂性。进而利用泰森多边形非结构化空间剖分策略等效表征了孔隙-孔喉耦合、分布随机的原始复杂性，并依据缩放间隙度及缩放覆盖率概念实现了原始复杂性分形行为的尺度不变定义。最终依据分形对象中复杂类型相互独立的组构原则等效表征了孔隙-孔喉耦合分形孔隙结构。
1 原理和模型构建方法
1.1 行为复杂性的定量表征
为了描述自然界中不规则的和破碎的现象，MANDELBROT 提出了分形的概念并给出定义[32]。相比于传统欧几里得几何而言，空间维扩展了非整数范畴。目前，分形几何理论被广泛应用于尺度不变属性的描述，而分形维常常是通过经典的数量-尺度模型获取，如式(1)所示:
N(G(l))=cl-D
(1)
其中，N(G(l))为自相似体中特征长度为l的子集的数量;c为常数;分形维数D则可根据lg l与lg N(G(l))之间关系的斜率确定为
D=-lg(N/c)/lg l
(2)
如前所述，Rns仅仅是评估分形行为复杂性的量化指标，并非是其严格的数学定义，且分形维与分形行为之间是一对多的关系。因此，仅仅通过分形维是无法惟一确定分形孔隙结构中尺度不变分布的。这严重影响了复杂孔隙结构的等效表征。
最近，JIN等[7]深入分析了经典的自相似分形体中的尺度不变属性控制体系，提出了分形行为的概念并给出了其严格的尺度不变定义，即分形拓扑模型。该模型从数学层面上阐明了分形行为的控制参数，即缩放间隙度P和缩放覆盖率F，定义为
(3)
其中，P为一个分形体结构中两个连续缩放体G的特征尺度比；F为一个分形体中两个连续缩放体G的数量比，两者均为无量纲参数，独立于缩放对象和尺度，且均满足分形尺度不变原则。进而结合经典的Rns模型，给出了分形维尺度不变的数学定义为
(4)
分形拓扑理论描述了尺度不变属性的控制机理，厘清了分形维与分形行为之间的关系。更重要的是，该理论认为分形行为与缩放对象之间相互独立，这为任意分形对象中复杂类型的界定以及它们的组构提供了数学基础，进而大大削减了复杂孔隙结构等效表征的难度。
1.2 颗粒-网络型原始复杂性的等效表征
储层中孔隙结构一般可分为孔隙和孔喉，同级别孔隙孔径尺寸相对较大并表现出类似于颗粒填充的随机分布特点，孔喉则为狭长通道连接孔隙，因此这是一种颗粒-网络型原始复杂构型。常规表征类似于颗粒填充的孔隙分布的方法较多，但无法体现网络构型[33]。基于泰森多边形的网络模型构建方法越来越受广大学者重视，但此类模型无法同时表达类似于颗粒填充的孔隙分布[34]。
然而细观泰森多边形模型，如能有效处理节点以及剖分线的建模策略，颗粒-网络型孔隙构型的等效表征将成为可能。为此，简要介绍泰森多边形的基本原理[35]:该方法将整个区域按已知采样点的位置分割成若干个多边形子区域，每个多边形的构建规则是由相应的采样点与周围的所有邻域点间作垂直平分线，并将各垂直平分线依次连接组合而成，如图1所示。
图1 泰森多边形的构建过程
Fig.1 Construction of Voronoi
1.3 孔隙-孔喉分形多孔介质构建算法
泰森多边形方法依托于空间随机分布的散点，采用最近邻域剖分方法，实现空间非结构化剖分。该算法剖分结构产出两类要素，即节点与边界。很显然，节点为孔隙的填充提供了布设，而边界线为孔喉的生成提供了支撑。更重要的是，节点也是边界的端点，这确保了孔隙和孔喉的互连。因此，通过修改基于泰森多边形构建网络模型的方式，使得颗粒-网络型原始复杂构型的等效表征成为可能。
基于以上分析，笔者提出可以等效表征孔隙-孔喉原始复杂性的孔隙-孔喉分形网络模型，具体构建过程如下(图2)。
(1)构建表征体元。选择一个大小为Lt×Lt的正方形区域代表分形多孔介质的表征体元，随机生成Fmax个点，依据图1剖分原理生成Fmax个子区间，如图2(a)所示。其中，Fmax的取值由表征体元的面积Srev与最大颗粒面积Sg共同确定，即Fmax取Srev/Sg的近似整数值。
图2 孔隙-孔喉分形多孔介质的构建过程
Fig.2 Construction process of pore-throat fractal porous media
(a)为表征体元中泰森多边形的构建;(b)构建包含孔隙、孔喉以及连通性的原始复杂性;(c)确定分形相并定义行为复杂性;(d)生成次一级缩放对象;(e)重复分形行为;(f)两次迭代后生成最终模型。白色代表未确定相，黄色圆形代表孔隙，黄色管束代表孔喉，黑色区域为固体骨架
(2)确定孔隙和孔喉。考虑到孔喉的非全部连通这一客观事实，随机断开部分边界线并以半径为b0/2实现其双侧缓冲，b0为孔喉的原始孔径;然后随机选择Np个节点并缓冲成孔径为a0的孔隙，如为椭圆则长轴孔径和短轴孔径分别为l0和s0，如图2(b)所示。其中，黄色圆形代表孔隙，黄色管束代表孔喉，白色代表未确定相区域。
(3)确定分形相。依据分形拓扑中定义的缩放覆盖率F，从Fmax个白色区域中随机选择F个区域作为分形相区域并类似步骤(1)布设Fmax个随机点，如图2(c)中的灰色区域及其新布置的点所示，其中黑色区域为确定相固体骨架。
(4)生成次级分布。依据步骤(3)中生成的随机点实现灰色区域剖分，设置Np =FNp，a0=a0P-1，b0=b0P-1，其中P=[Fmax/(1-xp)]1/2，xp为孔隙和孔喉所占整体区域的面积的比值，进而重复步骤(2)和步骤(3)的操作，如图2(d)所示。
(5)重复步骤(4)直到孔隙和孔喉达到预测要求，如图2(e)所示。图2(f)即为将原始孔隙结构进行2次分形迭代的结果。
2 结果与讨论
2.1 模拟结果
基于前文描述的构建方法，根据不同的原始复杂性以及行为复杂性的定义，组构了不同的孔隙-孔喉分形模型。其结果如图3～5所示，图中黑色圆形或椭圆形代表孔隙，黑色管束为孔喉。为了便于对比分析，所有分形多孔介质大小Lt×Lt均设计为100×100无量纲格子单位。
2.1.1 原始复杂性的影响
图3(a)着重展示孔隙的影响，其中子图①～④代表了基于不同原始复杂性所构建的分形多孔介质模型。它们的原始复杂性定义中孔喉初始喉径及连通性相同，而孔隙的初始孔径由左至右逐渐增加，依次为0,8，12和16无量纲长度单位(简写为 lu)。建模结果表明新提出的多孔介质表征模型不但包含了网络模型，如图3(a)中的子图①所示，更有效地表征了孔隙之间连通与否。
由于原始复杂性中孔隙、孔喉面积占比自左向右依次增加，这导致分形行为中缩放间隙度P的增加[9]。但是它们的缩放覆盖率F相同，依据式(4)可知它们的分形维D满足D①>D②>D③>D④的关系。然而，图3(a)中的多孔介质自左向右却表现出孔隙结构越来越复杂的趋势。以上矛盾的出现归于分形维越大孔隙结构越复杂的传统观念。
图3 原始复杂性对孔隙-孔喉分形多孔介质总体复杂性的影响
Fig.3 Effects of original complexity on the whole complexity of pore-throat fractal porous media
图中黑色圆或椭圆代表孔隙，黑色管束代表孔喉，白色代表固体骨架，图4,5同
如前所述，分形多孔介质一种双复杂系统，由相互独立的原始复杂性与行为复杂性组构而成[9-10]，其总体复杂性为两者耦合影响的结果。因此，分形多孔介质中孔隙结构的总体复杂性不能由行为复杂性惟一决定。在图3(a)中，即便行为复杂性自左向右逐渐降低，但原始复杂性却表现出越来越复杂的空间构型，进而影响分形多孔介质的总体结构。
当前原始复杂性对总体复杂性的贡献虽然缺乏明确的量化描述，但其独立于行为复杂性的严格定义为分形储层的定量表征提供了理论支持。
图3(b)则展示了原始复杂性中孔喉对多孔介质孔隙结构的控制作用。子图①～④所表征的分形多孔介质中原始复杂性的孔隙初始尺寸保持不变，而孔喉喉径逐渐增大，依次为0,2，4和6 lu。原始复杂性的差异导致图3(b)中的模型表现出颗粒填充型和颗粒-网络耦合型两类。具体来说，模型①中由于孔喉喉径初始尺寸为0 lu，因此其退化为简单的颗粒填充型分形多孔介质，而②,③,④模型则为颗粒-网络。
这些模型中缩放覆盖率F虽然保持不变，但是由于原始复杂性中孔喉喉径的增加也必然导致缩放间隙度P的增加[10]，如前所述。依据式(4)可知以上多孔介质行为复杂性自左向右逐渐增大。正是由于原始复杂性以及行为复杂性的共同影响，以上多孔介质中孔隙结构自左向右越发复杂，这进一步证实了孔隙结构的复杂程度是由原始复杂性和行为复杂性共同控制。与此同时，类似颗粒填充型多孔介质仅仅是孔隙-孔喉型多孔介质的一个特例，即前者是后者喉径为0的极端结果。
图3(c)展示了孔隙形状的任意表征，自左向右的原始复杂性中孔隙形状从圆逐渐变为长短轴比更大的椭圆，孔隙的短长轴比分别为1,0.8,0.7和0.5。这些模型中，孔隙、孔喉在原始复杂性中的面积占比相同且缩放覆盖率F保持一致，因此它们的行为复杂性相同。
图3展示了原始复杂性对孔隙结构总体复杂性的控制作用，充分体现了分形多孔介质中原始复杂性与行为复杂性之间相互独立的组构模式。虽然两者之间有时也会存在相互的影响，如3(a)，(b)中的分形对象所示，但是这是由于特定的原始复杂性表征受总体空间限制所致。与此同时，以上建模过程表明了新模型的广义性，因为它统一了颗粒填充、颗粒-网络以及网络模型的定义。
2.1.2 行为复杂性的控制作用
为了展现行为复杂性对多孔介质孔隙结构的控制作用，构建了一系列分形颗粒-网络模型，部分结果展示于图4中。为了增强对比，所有模型的原始复杂性保持不变，即孔隙和孔喉的尺寸、分布、连通性以及它们的面积占比相同。
图4 行为复杂性对孔隙-孔喉分形多孔介质总体复杂性的影响
Fig.4 Effects of behavior complexity on the whole complexity of pore-throat fractal porous media
自左向右缩放覆盖率F分别为8,6，4,2;孔隙度分别为0.255,0.204,0.157和0.119;比表面积分别为0.760,0.521,0.308和0.152
从图4子图①～④,缩放覆盖率F逐渐减少，依次为8,6，4,2，但缩放间隙度P保持不变。建模结果表明从左至右颗粒-网络模型的孔隙结构的复杂性逐渐降低。显然，这同分形拓扑理论对行为复杂性的描述完全一致。依据式(4)，随着F的减少分形维D的数值逐渐降低，因为分形对象中行为复杂性的量化指标是以分形维数D的数值来衡量的。
2.1.3 连通性的表征及其对储层物性影响
多孔介质孔隙连通性的描述与定量表征一直以来是一个相对模糊的概念，笔者试图从定量表征的角度探讨其数学描述。经综合考量，同时避免问题过于复杂化，在此重点考虑两个方面:孔喉连通与否以及其断开长度与孔喉的长度比。选择以上参数的主要原因是仅仅依托于孔喉连通与否并不能有效描述分形迭代后总体连通性。
为了便于描述，记单一缩放对象中孔喉断开数量为Nc，而单一孔喉的断开长度比为Rc，进而定义单一缩放对象中连通属性为C(Nc,Rc)。依据图2所述的建模原理，C(Nc,Rc)为原始复杂性的组成部分，因为它依附于孔喉，而后者是原始复杂性的要素。基于以上认知，连通性同孔隙、孔喉等元素也应具有相同的分形行为。
为了展示连通性C(Nc,Rc)对孔隙结构的影响，构建了一系列分形多孔介质，部分成果展示于图5。建模结果表明:① Nc越大连通性越差，如图5子图①和②所示;② Rc越小总体连通性越好，如图5子图②,③,④所示，并且其涵盖了两个极端情况，即0,100%所代表的连通以及孔喉的消失。
但必须指出的是Nc与Rc对储层输运属性的影响差异巨大，因为在分形多孔介质中最大孔喉所组成的系统主宰着其输运属性[15]。因此随着Nc的增加，即便Rc减小但不为0时，储层渗透性能也会显著降低。与此同时Rc越小连通性越强，增加了储层微孔间的连通性并提升了孔隙度以及比表面积的储层物性指标，但对宏观输运属性的影响较小，并且随着缩放间隙度P的增加而显著减少。以上讨论表明连通性属于原始复杂性范畴，这为其后续精细与系统表征提供参考和借鉴。
2.2 模型有效性验证
为了验证孔隙-孔喉分形多孔介质构建算法的有效性，图3～5中展示的分形多孔介质建模参数及模拟结果相关物性参数列于表1，2，其中D均依据式(4)计算所得。
2.2.1 孔隙度验证
前文所建模型的孔隙度由两个部分组成，分别为颗粒填充的孔隙的孔隙度φ(a)和泰森多边形方法缓冲生成的孔喉的孔隙度φ(b)。根据JIN等[36]对分形毛管、颗粒填充等多孔介质的孔隙度描述，φ(a)为
(5)
图5 连通性对分形多孔介质孔隙结构的影响
Fig.5 Effect of connectivity on the fractal pore structure
Nc=3，自左向右Rc分别为0,20%,40%以及60%;孔隙度分别为0.260,0.250,0.234和0.218;比表面积分别为0.481,0.472,0.440和0.408
表1 图3，4中孔隙-孔喉分形多孔介质建模及物性参数
Table 1 Modeling parameters and physical properties of pore-throat fractal porous media in Fig.3 and 4
模型编号FmaxNpl0s0b0PFD3(a)-1440032.05941.9203(a)-2448832.07141.9053(a)-344121232.09441.8763(a)-444161632.12941.8343(b)-144141402.06541.9123(b)-244141422.09441.8753(b)-344141442.12541.8393(b)-444141462.15941.8013(c)-1448.498.4922.05441.9263(c)-2449.497.5922.05441.9263(c)-34410.147.1022.05441.9263(c)-44412622.05441.9264-1888822.97081.9114-2888822.97061.6464-3888822.97041.2744-4888822.97020.637
表2 图5中孔隙-孔喉分形多孔介质建模的物性参数
Table 2 Modeling parameters and physical properties of pore-throat fractal porous media in Fig.5
模型编号FmaxNpl0s0b0NcRc/%PFD5-165883302.57361.8965-2658833202.57161.8985-3658833402.56661.9025-4658833602.56061.906
式中,d为欧几里得维;a0为原始孔隙孔径;ai为迭代i次后的孔径;φa0为原始孔隙的孔隙度。
同理可得孔喉的孔隙度为
(6)
式中，b0为原始孔喉孔径;bi为迭代i次的孔喉孔径;φb0为原始孔喉的孔隙度。
因此，颗粒-网络型多孔介质的孔隙度φ为孔隙的孔隙度和孔喉的孔隙度之和，即
φ=φ(a)+φ(b)
(7)
由于所构建模型中a0/ai=b0/bi=Pi，且可将原始孔隙和原始孔喉的孔隙度之和表示为φ0，则孔隙-孔喉型(颗粒-网络型)多孔介质的孔隙度可以表示为
(8)
结合PSF模型[37]中的参数定义，可将式(8)进一步简化为
(9)
其中，xp为孔隙和孔喉在缩放对象中的面积占比;xs为固相面积占比;xf为分形相面积分数。它们之间满足xp+xs+xf=1的关系。
依据式(9)，解析计算了图3～5中5组基于不同组构模式所构建的分形网络模型的孔隙度。与此同时，利用ArcGIS软件实测了以上模型的实际孔隙度。理论解析值与实测数据的关系如图6所示，结果表明它们之间表现出高度一致性。
图6 理论孔隙度和实际孔隙度的对比
Fig.6 Comparison of theoretical porosity and actual porosity calculated
2.2.2 比表面积验证
记颗粒-网络模型中原始复杂性中的孔隙与孔喉比表面积之和为ξ，第1次迭代后所新生的孔隙与孔喉的比表面积之和S1为
(10)
同理，第2次迭代新生的孔隙和孔喉的比表面积之和S2为
(11)
以此类推，第i次迭代新生的孔隙和孔喉的比表面积之和Si为
(12)
由于模型的孔隙和孔喉的总比表面积S为每一级新增比表面积的累和，进而得分形颗粒-网络多孔介质的比表面积为
(13)
实测数据(通过ArcGIS软件)与理论解析结果的对比关系如图7所示。显然，它们之间仍然表现出几乎相等的关联关系。
图7 理论比表面积和实际比表面积的对比
Fig.7 Comparison of theoretical specific surface area and actual specific surface area calculated
以上分析与讨论充分验证了分形颗粒-网络模型的有效性。虽然新模型的实际应用效果还有待进一步检验，但为理解自然储层复杂类型及其组构模式提供了理论框架以及表征思路，进而为储层孔隙结构原始复杂性以及行为复杂性的定义提供了借鉴。
3 结 论
(1)依据分形拓扑理论，有效分离了孔隙-孔喉分形多孔介质中原始复杂性和行为复杂性。
(2)利用泰森多边形空间剖分原理，实现了颗粒、网络及其耦合模式的统一定义，进而确保了孔隙-孔喉分形多孔介质中原始复杂性的等效表征。
(3)阐明了孔隙-孔喉分形多孔介质中总体复杂性是原始复杂性和行为复杂性耦合结果，行为复杂性并非影响总体复杂性的惟一属性;与此同时厘清了连通性属于原始复杂性的范畴，并提出表征连通性的方法。
(4)推演了孔隙-孔喉分形多孔介质的孔隙度和比表面积公式，并验证了新方法的有效性。
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