振动筛常用于矿山、建筑等行业物料的粒度分级[1-3]。传统振动筛主要采用金属螺旋弹簧或橡胶弹簧隔振，刚度、阻尼恒定，过共振区时筛体振动剧增，易倾摆而运行不稳定，影响振动筛服役寿命。空气弹簧具有固有频率低、阻尼大和变刚度等特性，在车辆的悬架系统上得到了广泛应用。若振动筛使用空气弹簧隔振，可有效抑制共振区振幅、动荷载过大和筛体倾摆等问题[4-5]。同时，通过引入节流孔和附加气室，使附加气室空气弹簧产生较大阻尼，能有效衰减振动筛的自由振动，使之快速过共振区[6]。
国内外学者对空气弹簧隔振系统进行了大量的研究。陈俊杰等[7]在对附加气室空气弹簧进行研究时，考虑了橡胶气囊的力学特性，利用摩擦模型和分数导数模型对橡胶气囊进行建模，得到了附加气室空气弹簧动态特性;MOHEYELDEIN等[8]考虑等效气体质量在连接管路里振荡，导致空气弹簧和附加气室内气体状态变化，推导了一种新的空气弹簧数学模型，该模型由2个线性弹簧、1个质量块和非线性阻尼器组成，准确描述整个附加气室空气弹簧振动的过程;ZHU等[9]认为空气弹簧的作用力由3个分力构成，分别是基于热力学的非线性弹性力、变Berg摩擦力和基于四参数分数导数模型的黏弹性力，可精准预测空气弹簧的幅频特性。但是上述都是基于空气悬架的研究，从系统输入性质和空气弹簧的应用目的来看，附加气室空气弹簧在振动筛与车辆悬架的研究上均有所不同:车辆悬架的输入来自于空气弹簧底部位移变化，即路面不平度，通过空气悬架的衰减，减小车体的振动和动荷载[10];而振动筛的输入来自于激振系统提供的交变激振力，在空气弹簧隔振的作用下，使筛体产生稳定的受迫振动。此外，由于附加气室空气弹簧并非简单的弹簧阻尼系统，现有振动筛动力学模型中弹簧阻尼不适用于附加气室空气弹簧模型。
因此，笔者将主要研究附加气室空气弹簧隔振的振动筛动力学特性，通过振动筛传统动力学模型，分析隔振参数对振动筛动力学参数的影响;通过建立附加气室空气弹簧的模型，得到其隔振参数表达式;将附加气室空气弹簧模型与振动筛模型结合，得到基于附加气室空气弹簧隔振的振动筛动力模型;通过实验验证模型的准确性，分析附加气室空气弹簧参数对振动筛动力学特性的影响。
1 振动筛抛掷指数计算
图1是振动筛二自由度动力学模型图。两组偏心块产生的激振力过质心，不考虑振动筛绕质心的转动，以质心O为坐标原点建立直角坐标系，x和y分别表示在水平和竖直方向的位移。综合考虑激振力以及隔振系统的弹性力和阻尼力，可以得到振动筛二自由度动力学微分方程[4]:
(1)
式中，M为振动筛参振质量;cx，cy为隔振系统在水平方向和竖直方向的等效阻尼;kx，ky为隔振系统在水平和竖直方向的等效刚度;m为一组偏心块的质量;e为偏心块的偏心距;δ为振动方向角;ω为偏心块的转动角速度;t为时间。
图1 振动筛二自由度模型
Fig.1 Vibration screen two-DOF model
式(1)的稳态解为
(2)
其中，Ax，Ay为振动筛在水平方向和竖直方向的振幅;φx，φy为水平方向和竖直方向上的相位差。振动筛的实际合成振幅A和实际振动方向角δ′[11]为
(3)
隔振系统在水平方向和竖直方向上的隔振参数并不相等，即kx≠ky,cx≠cy，所以振动方向并不等于激振力的作用方向，即δ≠δ′。本文中的隔振系统由附加气室空气弹簧所搭建，其水平和竖直方向的等效刚度差较大，阻尼系数也明显大于金属弹簧和橡胶弹簧，进一步增大了δ和δ′的偏差[12]。
振动筛的关键工艺参数除了振幅外，还有抛掷指数。抛掷指数KV体现了振动筛抛射物料的能力，决定了物料颗粒在筛面上的运动状态。抛掷指数越大，颗粒的初速度和动能更大，颗粒被抛出的概率越高，物料可能获得较好的输送能力和分层效果。抛掷指数过小，导致输送能力较低，物料容易堆积在筛网表面;如果抛掷指数过大，物料在筛网表面的筛分时间过短，最终影响筛分效果[13]。本文研究的振动筛水平放置，筛面倾角为0°，经过实际振动方向角修正后，KV表达式[14]为
(4)
其中，g为重力加速度;A为由二自由度模型中Ax和Ay合成的实际振幅，Ax表达式中的kx多由经验公式确定，会引起Ax与A的计算误差[15]。注意到Asin δ′=Ay，因此KV可以使用振动筛的单自由度动模型的力学参数来表征:
(5)
KV是Ay和ω的函数，而Ay又是ω和ky的函数。因此，当工况发生变化，引起振动筛的动力学参数发生变化时[16-17]，通过调节激振系统的ω和隔振系统的ky可以实现对A和KV的动态调节，以确保KV和A在工况变化时仍能保持在预期值。
2 基于附加气室空气弹簧的振动筛动力学模型
2.1 空气弹簧动力学模型
空气弹簧是在由密封盖板和橡胶气囊构成可变密封容器中充入空气的一种非金属弹簧，利用压缩空气产生的反作用力起到支撑和隔振作用[18]。假设空气弹簧的橡胶气囊内的气体为理想气体，如图2(a)所示，空气弹簧在受到垂向载荷时产生的弹性作用力F0为
F0=p0Ae0
(6)
式中，p0为初始平衡状态下空气弹簧内的相对气压;Ae0为空气弹簧平衡状态有效面积。
图2 空气弹簧物理模型
Fig.2 Physical model of air spring
当施加载荷发生变化后，空气弹簧变形量为s(以向下为正)，空气弹簧内气体的相对气压p0、体积V0和有效面积Ae0分别变为p，V和Ae，空气弹簧的弹性作用力也由F0变为F，如图2(b)所示。在这一变化过程中V和Ae是s的一次函数，施加载荷变化较快时，空气弹簧内的气体不与外界进行热交换，根据热力学理论，满足绝热过程气体状态方程[19]:
(7)
式中，α，β为体积变化系数和有效面积变化系数;pa为标准大气压;γ为气体多变指数，绝热过程γ=1.4[7]。
将式(7)代入式(6)，得到在变形s时空气弹簧的弹性作用力F:
(8)
空气弹簧的刚度k是非线性的，在弹性作用力方向对F求导。空气弹簧平衡的高度约为90 mm，振动筛稳态振幅约为3～5 mm，空气弹簧压缩时，高度降低，有效面积变大，振动过程中体积近似不变，即V0/V ≈1，将其代入F的求导式得到
(9)
式(9)可以用图3表示，可以看出无附加气室空气弹簧可等效为2个弹簧并联而成:1个与空气弹簧的体积V0、有效面积Ae0和体积变化率α有关，即k1=αγ(p0+pa)Ae0/V0，k1为空气弹簧的体积V0、有效面积Ae0和体积变化率α形成的刚度;1个与空气弹簧有效面积变化率β有关，即k2= p0β，k2为气压形成的刚度。对某一空气弹簧而言，V0，Ae0，α和β都是确定的，可以在一定范围内调节空气弹簧的初始气压p0获得不同的刚度。
图3 空气弹簧动力学模型
Fig.3 Air spring dynamic model
2.2 附加气室空气弹簧动力学模型
附加气室空气弹簧由空气弹簧(主气室)通过管路或节流孔连接1个附加气室构成，附加气室多为固定容积的金属气罐，如图4所示。
图4 附加气室空气弹物理模型
Fig.4 Physical model of air spring system with auxiliary chamber
当空气弹簧发生振动变形或者负载发生变化时，主气室与附加气室之间的压力差使流经节流孔的气体会受到阻尼力的作用。根据流体力学理论，节流孔的质量流量特性[20]可以表示为
(10)
式中，q为通过节流孔的气体质量;μ为流量系数，与节流孔形状有关;a0为节流孔面积;ρ为空气密度;dp1，dp2为主气室和附加气室的压力变化量。
流量与节流孔两端的压力差之间的关系是非线性的，为了方便分析，在误差允许的范围内将之简化为与压力差成线性关系[21]:
(11)
参照式(7)得到2个气室的气体状态方程:
(12)
式中，V1，V2为主气室和附加气室的体积;dV1为主气室的体积变化量。
将式(11)进行二项式展开并略去二阶微量后得
(13)
空气弹簧由平衡状态到压缩变形s时，空气弹簧的气压和有效面积都发生变化，所产生的弹性作用力F为
F=F0+dp1Ae0+p0βs
(14)
由式(11)～(14)整理得
(15)
式中，k1=αγ(p0+pa)Ae0/V0;k2=p0β;c为附加气室空气弹簧的等效阻尼系数，c=12.6αρAe0d-3;η为空气弹簧主气室与附加气室的体积之比，η=V1/V2。
图5 附加气室空气弹簧动力学模型
Fig.5 Dynamic model of air spring with auxiliary chamber
式(15)可以由图5表示，经过简化的带附加气室空气弹簧模型可以视为一个弹性减振系统[22]。体积为V2、有效面积为Ae0的空气弹簧与系数为c的阻尼并联，之后与体积为V1、有效面积为Ae0的空气弹簧串联，最后再与有效面积变化率为β的空气弹簧并联。s为附加气室空气弹簧整体的位移，z为因附加气室刚度阻尼引起的位移，为中间变量，可以依据式(15)或图5消去。
与空气弹簧相比，附加气室的体积不发生变化，其刚度主要由气压变化引起，因此附加气室的刚度与空气弹簧因气压变化而产生的刚度k1串联;附加气室与空气弹簧连通时，节流孔产生阻尼c，c与附加气室同时存在，也与附加气室的刚度ηk1同时存在，所以ηk1与c并联，也验证了图5的准确性。附加气室空气弹簧也可以通过改变p0调节刚度，此外由式(10)可以看出，改变节流孔的形状面积也能起到调节阻尼的作用。
2.3 振动筛动力学模型
以附加气室空气弹簧为振动筛隔振系统，振动筛在竖直方向上的位移y即为空气弹簧的变形量s，以静平衡位置为初始状态，振动筛在激振力Fj和空气弹簧弹性作用力F的作用下满足牛顿第二定律:
(16)
式中，
为竖直方向的加速度。
将式(15)代入式(16)后消去F和中间变量z，得到y与Fj的关系:
(17)
这是一个三阶微分方程，方程多个参数均为复杂表达式，难用解析法进行求解。基于各部分和整体的数学模型，在MATLAB/Simulink环境下建立基于附加气室空气弹簧振动筛的仿真模型，如图6所示。
图6 基于附加气室空气弹簧的振动筛的仿真模型
Fig.6 Simulation model of vibration screen based on air spring with auxiliary chamber
3 实验与仿真分析
3.1 振动实验平台
基于附加气室空气弹簧振动筛实验在自行搭建的振动实验台上进行，实验台如图7所示，其参数见表1。实验台由三相异步电机(Y132M1-6)提供动力，变频调速器(FR-D740)调整电机转速，两组共8个偏心块通过齿轮同步转动产生沿竖直方向的激振力。实验台的铝合金底板4个角落各布置1个加速度传感器(IEPE)，信号采集仪(5922N)将传感器采集的加速度信号输入到计算机，利用软件(DASP)进行积分处理可以得到试验平台的位移等运动学参数，并进行时域频域分析。
图7 振动实验平台
Fig.7 Vibration test prototype
1—数据采集分析系统;2—信号采集仪;3—隔振系统气源;4—空气弹簧;5—附加气室;6—变频调速器;7—挠性联轴器;8—电机;9～12—加速度传感器
表1 振动实验平台参数
Table 1 Vibration test prototype parameters
参数数值参数数值偏心块质量m0/kg3.29初始有效面积Ae0/mm26361偏心距e/mm38.0主气室体积V1/L0.5转速n/(r·min-1)960初始气压p0/MPa0.08参振质量M/kg201附加气室体积V2/L3振动方向角δ/(°)90节流孔直径d/mm5
实验平台的隔振系统的原理如图8所示。空气压缩机、安全阀、过滤器和减压阀构成的气源装置为隔振系统提供稳定的气压源，气体通过单向阀充入均布在实验台下的4个空气弹簧，单向阀防止空气弹簧在振动时有气体反流进气源。电磁阀1开启时，空气弹簧内的空气经电磁阀1、节流阀1和消音器排入大气，实现隔振系统的放气过程。电磁阀2和节流阀2联通空气弹簧和附加气室，电磁阀2开启时，隔振系统内的气体通过节流阀内的节流孔，受到阻尼力的作用;电磁阀2关闭时，空气弹簧不能与附加气室进行气体交换，隔振系统变为无附加气室空气弹簧隔振系统。压力传感器1，2分别记录节流孔两端的气压变化。
图8 附加气室空气弹簧隔振系统原理
Fig.8 Schematic diagram foruibration isolation system of air spring with auxiliary chamber
3.2 模型的实验验证
根据式(15)计算，本次实验中k1=15.9 kN/m，k2=16.0 kN/m，c=1 665 N·s/m，η=0.17。实验时，电磁阀1关闭，电磁阀2打开，空气弹簧与附加气室联通。开始数据采集状态后启动电机，振动试验台经历共振区进入平稳振动，采集一定时间的稳态数据后切断电机电源，实验台再次过共振区至完全停止，结束数据采集。多次实验表明4个测试点的曲线无较大差异，任选其中1组数据，二次积分得到实验台全过程位移，截取其中的稳态阶段并与仿真结果比较，二者振幅和周期基本一致(图9)。实验测得稳态振幅为5.372 mm，数值仿真振幅为5.321 mm，二者误差不到1%，仿真结果与实验结果具有较好的一致性，验证了模型的准确性。
图9 测量位移与仿真位移对比
Fig.9 Comparison of measured displacement and simulated displacement
3.3 仿真分析
抛掷指数KV受到角速度ω和竖向振幅Ay的影响，Ay与激振力Fj和p0有关，而Fj由ω确定。下文分析各参数对KV和Ay的影响规律。
式(2)中Ay表达式分子与分母内的ω均为2次，因此ω对Ay的影响不大。用激振电机的转速n代替ω，由图10可知，当电机转速在840～990 r/min变化时，振幅Ay的变化仅由4.549 mm降为4.427 mm，变化幅度不足3%。可见改变电机转速(或激振角速度)对振幅的影响很小，可以忽略。式(5)中KV与ω2有关，受ω影响较大。图10显示，在相同的转速变化下，KV由3.6上升到4.9，在振幅变化非常小的前提下，抛掷指数实现了1.3的调节范围，变化幅度也达到了36%，满足筛分物料时KV的变化范围。综上所述，改变电机转速并不能有效改变振幅，但可以明显改变抛掷指数。在ω不变时，式(5)中KV与Ay呈现正比例关系，当Ay以mm为单位时，比例系数为ω2/1 000g=100.52/(9.8×1 000)=1.03(g为重力加速度)。KV与Ay变化规律一致且数值差异非常小，故下文仅分析各参数对Ay的影响规律。
图10 不同转速下的Ay和KV
Fig.10 Ay and KV at different speeds
图11为振幅Ay随初始气压p0的变化趋势。p0越高，振幅越大，且该变化趋势是非线性的。由式(2)，(14)看出Ay与ky，k1，k2与p0都是正相关，所以当p0增大导致ky增大时，Ay也随之增大。p0的调节要在一个合适的范围内，最大值不能超过空气弹簧的安全气压，最小值也要使空气弹簧的弹性作用力起到支撑振动筛的作用。隔振系统的刚度也需在一个合适的范围内调节，较小的初始气压可以得到较小的刚度，使隔振系统的预压缩量满足工程标准，在振动筛平稳运行过程中对空气弹簧进行充放气相当于调节初始气压，实现对振幅的调节。当p0由0.1 MPa增加到0.6 MPa时，Ay由4.446 mm增加到6.159 mm，变化幅度较大，可以通过对初始气压的调节得到合适的振幅。
图11 不同初始气压下的Ay
Fig.11 Ay at different initial pressures
图12为振幅Ay与节流孔径d的变化关系。当d由2 mm增加到20 mm时，Ay由4.443 mm变为4.467 mm，变化幅度不足1%，Ay随d的增加几乎保持不变，验证了阻尼对系统稳态影响较小。Ay出现变化的原因是d的增大，阻尼c减小，使Ay略有增大。当d非常大时，c→0，空气弹簧和附加气室可以视为直接连通，相当于空气弹簧的体积由V1增大到V1+V2，求解Ay=4.322 mm。当d=0时，空气弹簧与附加气室不通，附加气室不起作用，其力学模型简化为图3，仍可依据式(16)进行位移求解，此时的F由图3中的k1和k2提供，求解得到Ay=4.449 mm。当d=2～20 mm时，数值仿真的Ay值并未介于4.322～4.449，这是由于在空气弹簧线性模型中，c与d之间是单调的，与动力学模型的两种极限情况存在误差。实际上，d不仅对c有影响，也影响附加气室的容积是否全部参与气体交换，进而导致隔振系统刚度的微小变化。在常见的d的调节范围内，振幅的变化有限，所以利用节流孔径的变化调节振幅效果并不是明显。
图12 不同节流孔径下的Ay
Fig.12 Ay at different orifice diameters
通过对电机转速n、初始气压p0和节流孔径d的仿真发现，只有p0对振幅Ay有明显影响，因此依据图11选择合适的p0以获得目标Ay。在Ay和p0确定后，调节电机转速n可在不影响Ay的前提下实现抛掷指数KV的有效调节。KV与n和p0的特性曲面如图13所示，增大p0和n都可以使KV变大，但n的影响作用更明显。
图13 抛掷指数特性曲面
Fig.13 Throwing index characteristic surface
4 结 论
(1)振动筛的振动方向并不等于激振力的作用方向，但两者偏差较小，因此可近似认为振动方向角为实际振动方向角，从而利用单自由度模型表示抛射指数。
(2)基于热力学和动力学理论建立了附加气室空气弹簧振动筛的动力学模型，实现了机械-气压耦合，完成了振幅仿真求解。利用振动实验平台对模型验证，仿真振幅与实验振幅误差仅有1%。
(3)激振频率对振幅影响不大，但可以明显改变抛射指数;初始气压影响空气弹簧的刚度，并可以有效调整振动筛的振幅和抛射指数;改变节流孔径对振幅影响有限。通过不同初始气压和转速组合，可以调节振幅和抛掷指数，达到最优的筛分效果。
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