岩石(体)在动态载荷作用下的裂纹扩展机制对于爆破工程、地震机理、水力压裂抽采煤层气技术和矿井动力灾害机理研究等均具有重要意义[1]。谢和平等[2]采用分形理论分析了裂纹扩展对动态应力强度因子和裂纹扩展速度的影响;张劳恩[3]采用概率积分法预计模型对2个煤矿采空区间安全廊道进行了稳定性分析，并得出受断层构造抑制作用下安全廊道地表变形特征。以往针对岩石类材料的动、静态裂纹扩展行为研究多集中于裂纹汇聚和分叉特性以及裂纹扩展形态与速率方面，且研究对象多为均质类材料[4-6]。但由于实验手段所限，其中对于含层理结构的各向异性煤岩材料涉及较少，考虑动载扰动和裂纹扩展的分形效应研究更是鲜有报道。
由于地质沉积作用，煤体内富含多种层理或节理构造，导致其宏观表现出显著的各向异性。煤体的各向异性效应对动载扰动下煤柱的稳定性控制、煤层压裂抽采煤层气时裂缝扩展时空演化特征以及煤巷顶板支护设计等均具有显著影响。国内外学者针对煤岩类材料的各向异性效应展开了众多研究，CHENEVERT和GATLIN[7]通过试验研究发现，各向异性效应对含层理结构的页岩、砂岩和石灰岩的弹性模量及强度均有明显影响。此外以往大量研究表明，煤岩中层理对其强度特性[8-11]和I型断裂韧度[12]测试值均具有显著影响。在岩石裂纹扩展特性研究方面，以往学者多认为其路径为平直，未考虑裂纹扩展形态的弯曲效应，导致对岩石材料裂纹扩展速度的预测值与实际测试值相差较大，谢和平等[13-15]曾指出，这种现象的原因有可能是当前的动态断裂理论均假设裂纹扩展路径为一直线，然而真实裂纹路径往往并非平直，基于此，谢和平等应用分形几何理论提出了裂纹扩展的分形弯折模型，并且讨论了裂纹扩展速度和理论预测瑞利波速之间的关系。在裂纹扩展试验测试方面，戴峰等[16]结合激光间隙规(Laser Gap Gauge,LGG)和应变片测试方法，探讨了裂纹发育过程的稳定和非稳定特征。但以往开展的实验研究多采用表观裂纹扩展速度指标，并未考虑含结构煤岩类材料裂纹扩展的分形特征，且多数试验在准静态加载条件下开展，对于动载扰动下的煤岩材料裂纹扩展行为研究不足。谢和平院士提出，我们需要采用新的理论方法对岩石这类“分形物体[17]”的力学行为展开研究，因此，有必要从实验角度进一步揭示含结构面煤岩材料在动载下的裂纹扩展行为和演变规律。
笔者采用直切槽半圆形(Notched Semi-Circular Bending,NSCB)试样对含层理各向异性煤的动态裂纹扩展分形特征进行分析，开展了直切槽半圆形煤样的霍普金森冲击断裂试验，并采用高速摄像机对冲击过程中裂纹扩展发育特征进行拍摄。利用Matlab和Image J等图像处理软件，分析探讨了层理和加载速率对煤中裂纹扩展分形特征的影响，分析了层理倾角对煤样裂纹扩展路径、裂纹扩展速度、加速度和分形维数的影响。
1 试验样品及装置
1.1 试样制备
试样选自忻州窑煤矿11煤，煤种为烟煤，按照国际岩石力学学会要求测试标准对试样进行精细加工，制作符合标准的直切槽半圆弯曲(Notched Semi-Circular Bending,NSCB)试样共135块，其几何尺寸如图1(a)所示。其中预制切槽长度a=4，7和10 mm，支座间距S=30 mm，试样直径为50 mm，厚度25 mm;c为预制切缝宽度；P2为支座提供的支撑力。依据冲击方向和层理面之间的夹角不同将试样分为5组，不同层理倾角煤样如图1(b)所示。经过岩石力学试验测试，煤样弹性模量E=2.38 GPa，泊松比ν=0.384，密度ρ=1 330 kg/m3，动态拉伸强度σd=5.57 MPa。煤岩工业分析测试得出，忻州窑煤的镜质体反射率为1.22%，水分为2.90%，挥发分为26.16%，固定碳68.28%，灰分2.66%。
图1 NSCB试件和SHPB系统动态测试方法示意
Fig.1 Schematic view of dynamic testing method about NSCB specimen and SHPB system
1.2 试验加载装置
采用霍普金森(Split Hopkinson Pressure bar,SHPB)加载装置进行动态加载，如图1(c)所示，该装置主要包括:冲击子弹、入射杆、透射杆、支座、吸收杆和数据采集系统。入射杆和透射杆的材料均为35CrMn钢，该材料密度为7 800 kg/m3，弹性模量为200 GPa，泊松比为0.28。冲击子弹的发射速度可通过设置发射气压的大小进行调节。支座安装在透射杆一端，通过闪光灯提高试样表面亮度，使高速摄像机拍摄记录煤样裂纹扩展过程更为清晰。综合考虑试样裂纹扩展时长、高速摄像机分辨率和储存空间等因素后，设置采集图像时间间隔为11 μs。
试样在冲击测试前，在其与加载杆接触部位涂抹少量黄油作为润滑剂，以防止摩擦效应对测试结果的干扰。此外，在入射杆端粘贴黄铜板作为波形整形器，以延长加载波及减少波形震荡，该方法能够较好获取理想正弦加载波形。
2 试验结果及分析
2.1 煤样动态破坏过程及裂纹扩展特征
不同层理倾角大同煤样的弹性波速参数测试结果见表1，瑞利波速CR[18]为
表1 不同层理倾角大同煤样的弹性波速参数
Table 1 Elastic wave velocities parameters of Datong coal with different bedding angles
层理倾角/(°)纵波波速/(m·s-1)横波波速/(m·s-1)泊松比弹性模量/GPa瑞利波速/(m·s-1)01 9939±1748249±480.395 59±0.012.4909±0.310775.689±4722.52 0169±1948109±250.399 29±0.032.4279±0.144762.659±2445.01 9019±758009±320.391 59±0.012.3549±0.170752.079±2967.51 8219±1518319±870.361 49±0.052.4989±0.430777.099±7790.01 7269±1287709±280.373 59±0.022.1239±0.176721.519±27
注:数据格式为“平均值样品数±标准差”。
CR=(0.862+1.14ν)/(1+ν)Cs
(1)
其中，Cs为材料的横波波速。波速测试采用NM-3C非金属超声检测分析仪，对试样的横波波速以及纵波波速进行了测量。
分析试验结果前需要对每个试样加载过程中的动态平衡力进行检测，图2为典型NSCB煤样SHPB动态平衡测试图。图3为高速摄像机捕捉记录的动载下不同层理角度煤样裂纹扩展过程。统计分析所有129个试样(去除非正常破坏试样)的动态断裂过程图像后得出，煤样动态破坏模式以拉伸破坏为主，试样中裂纹起裂位置为切缝尖端前方，随后在冲击载荷作用下裂纹不断扩展发育，但扩展路径受层理倾角的影响较为明显，例如层理角度为0°煤样裂纹扩展路径更为平直，且扩展路径穿过层理弱面，最终到达入射杆和试样的接触点处。但层理角度为45°和90°煤样裂纹扩展出现一定弯折效应，其裂纹扩展路径产生了沿层理弱面方向的偏转，随后在冲击载荷下不断向前发育，最终仍沿切缝与加载点相连的直线方向止裂于接触点。需要注意的是，层理角度为45°煤样弯折效应最为明显，其裂纹扩展路径呈现一定的分形特征，煤样沿软弱层理面逐渐剥离分解。
图2 典型NSCB煤样SHPB动态平衡测试
Fig.2 Dynamic force balance check for typical dynamic NSCB test
图3中5组不同层理角度煤样对应冲击气压一致，均为0.52 MPa，其加载应变率依次为39.1，37.2，36.3，38.9和40.2 s-1。根据采集的煤样破断过程高速图像，采用Image J图像分析软件提取裂纹扩展过程区(Zone of Interest,ZOI)中的裂纹扩展完整路径(包括起裂和贯穿时刻)。首先计算不同层理倾角煤样的表观裂纹扩展速度，这里的表观裂纹扩展速度是指根据切缝尖端起裂点到接触加载点之间的直线距离以及高速相机记录裂纹扩展全程所用的时间求得的一种直线平均裂纹扩展速度。5组煤样的表观裂纹扩展速度依次为52.79，68.18，163.64，102.27和125.87 m/s，平均测试值为102.55 m/s，其中最大表观裂纹扩展速度与瑞利波速的比值为0.216，并且45°层理倾角煤样测试值最大，0°最小。相较其他类岩石材料，如花岗岩[10](268～355 m/s)和大理石[19](680 m/s)等的表观裂纹扩展速度，煤样表观裂纹扩展速度偏小。
图3 动载下不同层理角度煤样裂纹扩展过程
Fig.3 Crack propagation process of coal samples with different bedding angles under dynamic load
为了对比分析不同冲击速度下煤样的裂纹扩展速度特征，选取冲击速度为4.502 ～4.785 m/s的煤样，利用Matlab图像处理软件对高速相机记录的煤样中裂纹扩展形态进行提取分析，首先对裂纹由切缝尖端到加载点的贯穿时刻图像进行均衡直方图方法加强，其次对图像进行二值化处理，最后提取裂纹从切缝尖端到加载点之间的裂纹扩展路径形态图像。图4为提取的不同层理角度煤样的动态裂纹扩展过程，可以看出，层理角度为45°煤样的裂纹扩展路径最为弯折，其裂纹扩展轨迹表现为开始时受层理弱面影响向上方偏转，随后在动态拉伸作用主导下向下偏转，最终形成类似折线形的扩展轨迹。而其他层理角度煤样的扩展轨迹则要平直得多，尤其是层理角度为0°和90°的煤样，其中层理角度为67.5°和90°的煤样裂纹扩展过程中出现了一定的不连续性，最终裂纹扩展路径为多条裂纹汇聚而成。计算得出5组煤样的表观裂纹扩展速度分别为119.32,127.27,127.27,109.09和119.32 m/s，平均值为120.45 m/s，最大表观裂纹扩展速度与瑞利波速之间的比值为0.159。
图4 相近冲击速度下不同层理角度煤样裂纹萌生及发育过程
Fig.4 Crack initiation and development process of coal samples with different bedding angles
以上这种表观裂纹扩展速度计算方法将裂纹扩展路径视为一条平直直线，仅考虑裂纹起始点和终点位置，未考虑裂纹在扩展过程中所表现出的不规则性和瞬时性。因此就测试裂纹扩展速度的方法而言，该方法与以往采用应变片或裂纹扩展计等手段所得结论在本质上是一致的。
然而，对比表观裂纹扩展速度和瑞利波速可得，以上方法所得最大表观裂纹扩展速度仍与瑞利波速相差较大，其比值为0.159～0.216，这与以往理论预测值相差较大[19]。因此，利用图像处理软件对不同时刻煤样的裂纹实际弯折扩展路径进行进一步提取分析。计算5组煤样的分形裂纹扩展速度(分形裂纹扩展速度的计算考虑了裂纹扩展的非线性和不规则性，以实际裂纹尖端扩展路径和所记录的全程裂纹扩展时间计算所得)，依次为122.65,136.26,156.95,142.21和124.36 m/s，其中最大值与瑞利波速之比为0.207，仍远低于瑞利波速。
需要说明的是，分形裂纹扩展速度是描述裂纹顶端扩展快慢的物理量，等于裂纹顶端实际扩展路径和对应所用时间的比值。分形裂纹扩展速度的计算考虑了裂纹扩展的非线性和不规则性。本文实际裂纹尖端扩展路径采用Image J软件进行测量，扩展时间根据高速相机记录的不同时刻求得。其测试难点在于裂纹扩展的实时过程需要依靠高速相机记录，对实验设备有一定要求，且高速相机的帧数设置需进行调试至最佳。因为帧数过小不易记录裂纹扩展全程;但若帧数过大，记录裂纹扩展过程虽全面但由于高速相机的储存空间有限，若记录图像数量超过最大值则会进行自动删除并覆盖刚开始记录的裂纹起始图像。因此，如何调试设置高速相机的合理帧数也是实验的关键点。此外，煤样的分形裂纹扩展速度由裂纹扩展实际路径和所用时间共同决定，45°层理角度煤样虽然裂纹扩展路径最长，但所用时间较少(154 μs)。从微观角度来看，煤样的分形裂纹扩展速度大小与其内部晶体断裂模式(沿晶断裂和穿晶断裂的耦合形式)密切相关。
2.2 裂纹扩展路径的分形维数
为了定量研究分析不同层理角度煤样的裂纹扩展路径特征，引入裂纹扩展路径分形维数D，以表征裂纹尖端扩展轨迹的复杂程度。通过对提取的裂纹扩展过程区的裂纹完整形态进行统计分析，基于计盒维数原理(式(2))，可以计算煤样内裂纹扩展路径的分形维数。图5为典型煤样中裂纹扩展路径的分形维数计算方法示意，设F⊂Rn是任意非空的有界子集，Nδ(F)为集合F与坐标网格相交的个数。集合F的盒维数(Box dimension)记为dimBF，得到
图5 煤样中裂纹扩展路径的分维计算方法
Fig.5 Fractal dimension calculation method of crack propagation path in coal sample
(2)
式中，δ为量测的码尺。
图6统计分析了不同层理角度煤样裂纹路径的分形维数值，可以看出，层理角度对于煤样内部裂纹动态扩展形态具有显著影响，随着层理角度的增大，其裂纹扩展路径分形维数值呈先增大后减少的趋势，层理角度为45°煤样的分形维数值为最大，分布在1.280～1.435，平均值为1.369 2。其次为67.5°的煤样，其平均值为1.347，层理角度22.5°和90°的煤样裂纹扩展分形维数值基本相等，分别为1.302 5和1.300 1。层理角度为0°煤样的裂纹扩展分形维数值最小，为1.274 9。此外，就测试值总体的离散性而言，层理角度90°的煤样离散性最小，测试值分布较为集中，而层理角度为0°和22.5°煤样的离散性最大。
图6 不同层理角度煤样裂纹路径的分维值
Fig.6 Fractal dimension value of crack path in coal
需要说明的是，图6中不同层理角度煤样分组使用的试件数目不同，这是因为每组煤样测试时均有一些不成功的试样，比如裂纹起裂位置并未沿切缝尖端，而是沿层理弱面先行启裂，或者有些试样沿底部支座接触位置启裂等情况。图6中的分析数据是以所有获得的有效测试结果为依据，其中也可以看出层理角度为0°和22.5°试样的测试成功率高于其他组试样，这可能是由于加载力的方向与层理弱面平行或近似平行时试样测试更易成功[18]。
2.3 瞬时分形裂纹扩展速度特征
以往针对岩石材料的微观结构形貌分析表明[17]，煤岩中含有一定微观裂隙和孔洞，同时伴随有矿物夹杂和弱面等结构，因此岩石的断裂，既有微裂纹的成核和扩展，也有微孔洞的汇合与贯通。岩石中的裂纹总是以Y形或Z字型向前扩展的，根据建立的分形裂纹扩展模型(图7，δmin为码尺最小步长)，考虑间隔长度L0内的裂纹扩展特征，由分形理论，可得
图7 分形裂纹扩展模型
Fig.7 Fractal crack growth model
(3)
其中，t为裂纹扩展所经历的时间;L0为表观裂纹长度;δ为量测码尺，它取决于自相似性存在的范围。相应地导出裂纹扩展速度表达式为
V/V0=(d/Δα)1-D
(4)
其中，V为分形裂纹扩展速度;V0为表观裂纹扩展速度;d为岩石晶粒尺寸;Δα为裂纹扩展步长。可见，裂纹扩展速度比V/V0取决于晶粒尺寸、裂纹扩展步长和裂纹扩展路径的分形维数。
根据动态断裂理论，假设裂纹顶端位于y=0平面的x=0位置，在平面(x>0，y=0)上的法向应力分布为σyy=P(x,0)。根据分形插值理论[17]，函数L(D,t)能由分段插值函数L(t)来近似。L(t)的顶点位于分形裂纹曲线L(D,t)上(图8)。定义递推插值点tk=kΔt(k=0,1,2,……)，对应这些插值点L(D,t)的位置为(0,0),(t1,L1),…,(tk,Lk),……。在这些插值点上Lk= L(D,tk)=L(tk)。这样，可认为在间隔tk<t<tk+1(k=0,1,2,……)裂纹顶点以常速vk=(Lk+1-Lk)/(tk+1-tk)运动。
图8 分形裂纹扩展轨迹的分形插值示意
Fig.8 Fractal interpolation diagram of fractal crack growth path
为了综合考虑裂纹扩展路径的不规则性和瞬时特性，将典型煤样(No.2811)在不同时刻动态裂纹扩展路径长度进行统计分析，如图9所示。通过在相邻时刻的间隔时间段内对裂纹长度进行求导可得极短时间段(微秒级)内裂纹扩展速度值，再次求导可得加速度值。
图9 煤样中动态裂纹扩展时各指标演化规律
Fig.9 Evolution law of various dynamic crack growth indexes of coal sample
由图9可以看出，煤样动态裂纹扩展长度经历了4个阶段(Ⅰ～Ⅳ)，首先在0～33 μs内表现为低速扩展，而在33～44 μs时段呈现快速扩展现象，在44～111 μs时段裂纹长度整体表现为平稳扩展，其扩展速度与阶段Ⅳ相近。就裂纹扩展速度指标，可将其扩展过程划分为前期的突增高速扩展和后期的稳速扩展。此外，裂纹长度L(D,t)变化的4个阶段可由分形插值函数L(t)近似表示。对比裂纹扩展速度和加速度变化趋势可知，同一裂纹其速度峰值和加速度峰值交替出现，且加速度峰值出现在速度峰值之前。加速度代表裂纹扩展驱动力的变化，加速度到达峰值时驱动力最大，随后裂纹在驱动力作用下持续加速扩展，裂纹扩展速度变化滞后，该结论与以往爆破试验测试裂纹扩展速度和加速度趋势变化情况一致[20]。
将不同层理角度和切缝长度煤样的裂纹扩展长度和扩展速度进行综合分析(图10)，可以看出，裂纹扩展长度大致可划分为若干阶段，呈现初始的低速扩展，中期高速扩展和后期的稳定扩展趋势。此外，由图10(b)，(d)可以看出，层理角度为22.5°，45.0°和67.5°的煤样在扩展速度突增阶段易出现最高峰值，且有一些瞬时分形裂纹扩展速度峰值接近瑞利波速(CR)。该试验结果表明，以往关于裂纹扩展速度远低于瑞利波速的理论假设有可能是未考虑裂纹扩展的分形效应和瞬时特性。此外，不同切缝长度煤样的裂纹扩展速度峰值出现的时段不同，切缝长度为4 mm煤样，其峰值1和峰值2分布在50 μs时刻的前后，且峰值1的值大于峰值2。而切缝长度7 mm的煤样仅有一个峰值阶段，位于50～100 μs，其中层理角度为22.5°煤样峰值最大。切缝长度10 mm煤样，其峰值1和峰值2分别分布在25 μs左右和75～100 μs，且峰值1高于峰值2，但其整体裂纹扩展速度要低于其他两组煤样测试值。
图10 不同层理角度和切缝长度煤样的裂纹扩展长度和扩展速度
Fig.10 Crack propagation length and rate in coal samples of different stratigraphic angles
3 结 论
(1)层理结构对煤中动态裂纹扩展路径及速度均具有重要影响，45°层理煤样分形裂纹扩展速度最大，而层理倾角为0°煤样的分形裂纹扩展速度最小。分形裂纹扩展速度较表观裂纹扩展速度更大，但仍然远小于瑞利波速。
(2)从时间上而言，同一裂纹的速度峰值和加速度峰值交替出现，且加速度峰值出现在速度峰值之前，裂纹扩展的驱动力可由加速度指标间接表示。
(3)考虑瞬时效应和分形特征的若干煤样裂纹扩展速度测试值与瑞利波速接近，且22.5°，45.0°和67.5°层理角度的煤样测试时易出现最高峰值。该试验结果与先前理论假设相吻合，因此获取含结构面煤岩类材料动态裂纹扩展速度时应当充分考虑其分形效应和瞬时特征。
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